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-1-4.3.2空间两点间的距离公式目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.2.掌握空间两点间的距离公式及其简单应用.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析空间两点间的距离公式空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2+(𝑧1-𝑧2)2.解析:|AB|=(-3-2)2+(4+1)2+(0-6)2=86.【做一做】在空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)和点B(2,-1,6)间的距离是()A.243B.221C.9D.86答案:D目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.对空间两点间距离公式的两点说明剖析:(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.(2)若已知两点的坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间的距离求参数或点的坐标时,则应利用公式建立相应方程求解.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.空间两点间距离的求解剖析:(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的空间直角坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.一般遵循如下的步骤:目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型一求空间中两点间的距离【例1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,点N在D1C上且为D1C的中点,求M,N两点间的距离.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二解:如图,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0).因为|DD1|=|CC1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2).因为N为CD1的中点,所以点N的坐标为32,3,1.因为M是A1C1的三等分点且靠近点A1,所以点M的坐标为(1,1,2).由两点间的距离公式,得|MN|=32-12+(3-1)2+(1-2)2=212.故M,N两点间的距离为212.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二反思求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系,以确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般来说,要转化到平面中求解,有时也利用图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二【变式训练1】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二解:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C1C|=|CB|=|CA|=2,∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2).由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),∴|DE|=(1-0)2+(1-1)2+(0-2)2=5,|EF|=(0-1)2+(1-0)2+(2-0)2=6.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型二两点间的距离公式的应用解析:由于点P在x轴上,根据x轴上点的特征,设出坐标,列出方程求解.因为点P在x轴上,设P(x,0,0),则|PP1|=𝑥2+(2)2+32=𝑥2+11,|PP2|=𝑥2+(-1)2+12=𝑥2+2.因为|PP1|=2|PP2|,所以𝑥2+11=2𝑥2+2,解得x=±1.故所求点的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).答案:(1,0,0)或(-1,0,0)【例2】点P在x轴上,它到点P1(0,2,3)的距离为到点𝑃2(0,1,−1)的距离的2倍,则点𝑃的坐标是.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二反思空间两点间的距离公式是本小节的重点,也是将来在选修模块中继续学习空间直角坐标系的基础.应用两点间的距离公式列出方程,是求解此类问题的常用方法,体现了两点间距离公式的应用.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二变式训练2】已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),试判断△ABC的形状.解:由题意,得|AB|=(4-1)2+(2+2)2+(3-11)2=89,|BC|=(4-6)2+(2+1)2+(3-4)2=14,|AC|=(6-1)2+(-1+2)2+(4-11)2=75=53,则|AC|2+|BC|2=14+75=89=|AB|2.故△ABC为直角三角形.