高一数学课件空间几何体的直观图高一数学课件

第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1．2.3空间几何体的直观图[学习目标]1.了解斜二测画法的概念(重点)．2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图(重点、难点)．3.了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤温馨提示斜二测画法中，“斜”是指直接坐标系xOy变成斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相等的角，在直观图中仍相等．()(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．()(3)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．()解析：根据斜二测画法的意义及作图知，(1)、(2)、(3)均错．答案：(1)×(2)×(3)×2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，其中说法错误的是()A．原来相交的线段仍相交B．原来垂直的线段仍垂直C．原来平行的线段仍平行D．三角形的直观图仍为三角形解析：根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．答案：B3．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．解析：由斜二测画法，A′＝45°或A′＝135°.答案：45°或135°5．如图所示是四边形ABCD水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________．解析：法一如图所示，画互相垂直的轴Ox，Oy，取OE＝O′E′过点E作EF∥Oy，在EF上截取AE＝2A′E′，AD＝2A′D′＝8，再过点D作DC∥x轴，过点A作AB∥x轴，并截取DC＝D′C′＝2，AB＝A′B′＝5.连接BC，得直观图A′B′C′D′的还原图形四边形ABCD.由作法得S四边形ABCD＝12×(2＋5)×8＝28.法二因为A′D′＝4，所以梯形A′B′C′D′的高为22.故S梯形A′B′C′D′＝12×22×(2＋5)＝72，所以S四边形ABCD＝22·S梯形A′B′C′D′＝28.答案：28类型1平面图形直观图的画法(自主研析)[典例1]按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[自主解答](1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上去O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E(如图③)．归纳升华1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．[变式训练]画如图所示水平放置的直角梯形OBCD的直观图．解：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①所示．(2)在x′轴上取O′B′＝OB，在y′轴上取O′D′＝12OD，过D′作x′轴的平行线，且在平行线沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.如图②.(3)连接B′C′，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.类型2简单几何体的直观图[典例2](1)如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是()(2)画棱长为2cm的正方体的直观图．解：(1)A(2)如图，按如下步骤完成：第一步作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2cm，AD＝1cm.第二步过A作z′轴，使∠BAz′＝90°.分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2cm.第三步连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并擦去多余的辅助线，得到的图形就是所求的正方体直观图．归纳升华画简单几何体直观图的步骤1．画轴：通常以高所在直线为z轴建系．2．画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．3．确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．4．连接成图．[变式训练]如图所示，由下列几何体的三视图画出它的直观图．解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都等于正视图的高．(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分的线为虚线，如图②所示.类型3直观图的还原与计算(互动探究)[典例3]如图所示，一个水平放置的平面图形为斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，求这个平面图形的面积．解：因为A′D′∥B′C′，所以AD∥BC.因为∠A′B′C′＝45°，所以∠ABC＝90°，所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示．其中AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2，故梯形ABCD的面积S＝1＋（1＋2）2×2＝2＋2.[迁移探究1](变换条件)典例3中的条件改为：如图所示的直角梯形中，∠A′B′C′＝45°，A′B′＝A′D′＝1，C′D′⊥B′C′，求原图形的面积．解：在斜二测直观图形，作A′H⊥x轴交于H.A′B′＝A′D′＝1，D′C′⊥B′C′，∠A′B′C′＝45°.所以B′H＝22，B′C′＝B′H＋A′D′＝1＋22.从而在原平面图形ABCD中(如图所示)，AB⊥BC，AB＝2，AD＝1，BC＝1＋22.从而直角梯形ABCD的面积S＝12×2×1＋1＋22＝2＋22.[迁移探究2](变换条件)若将典例3的条件改为：已知正△ABC的边长为1，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．解析：图①、②分别为实际图形和直观图．由图②可知AB＝A′B′＝1，O′C′＝12OC＝34.在图②中作C′P′⊥A′B′于P′点，则有C′P′＝22O′C′＝68.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′P′＝12×1×68＝616.答案：616归纳升华1．平面图形的直观图与原图形关系要关注两点：(1)与x轴、y轴平行线段的平行性不变；(2)长度关系的变化，与y轴平行的线段尺度折半．2．由原图形的面积求直观图的面积，关键是确定直观图的形状，作出直观图后，求出其边长和高，进而求出面积；如果由直观图求原图形的面积，则根据斜二测画法将直观图还原为原图形，再求边长和高，进而求面积．直观图的面积是原图形面积的24倍．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．画图时紧紧把握住一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半．2．画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．3．注意由直观图求原图形有关问题时，要把平行于y轴的线段长度变为两倍才是原图形的长度．