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-1-4.3空间直角坐标系-2-4.3.1空间直角坐标系目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.了解右手直角坐标系及有关概念,掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义.2.会建立空间直角坐标系,并能求出点的坐标.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.空间直角坐标系定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴,这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°图示说明在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,那么称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1】在空间直角坐标系中,三条坐标轴()A.两两垂直且相交于一点B.两两平行C.仅有两条不垂直D.仅有两条垂直答案:A目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.坐标如图,设点M为空间直角坐标系中的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P,Q和R.设点P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12知识拓展空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0),则𝑥0=𝑥1+𝑥22,𝑦0=𝑦1+𝑦22,𝑧0=𝑧1+𝑧22.这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,是平面直角坐标系中中点坐标公式的拓展.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做2】点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是()A.(4,2,2)B.(2,-1,2)C.(2,1,1)D.(4,-1,2)解析:根据空间中点坐标公式,可得中点坐标为1+32,4-22,-3+52,即(2,1,1).答案:C目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.空间直角坐标系中特殊位置点的坐标剖析:如下表所示.点的位置点的坐标形式原点(0,0,0)x轴上(a,0,0)y轴上(0,b,0)z轴上(0,0,c)xOy平面上(a,b,0)yOz平面上(0,b,c)xOz平面上(a,0,c)目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.空间直角坐标系中特殊对称点的坐标剖析:设点P(a,b,c)为空间直角坐标系中的点,则对称轴(或中心或平面)点P的对称点坐标原点(-a,-b,-c)x轴(a,-b,-c)y轴(-a,b,-c)z轴(-a,-b,c)xOy平面(a,b,-c)yOz平面(-a,b,c)xOz平面(a,-b,c)目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12归纳总结空间对称问题要比平面上的对称问题复杂,除了关于点对称、直线对称,还有关于平面对称.在解决这一类问题时,注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线,坐标平面为参照面,通过平行、垂直确定出对称点的位置.空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题,可以参照如下口诀记忆“关于谁对称谁不变,其余的均相反”.如关于x轴对称,点的横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面对称,点的横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数.特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型一根据坐标确定点的位置【例1】在空间直角坐标系中,作出点M(6,-2,4).解:点M的位置如图所示.反思对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点和给出具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标这两类题目,要引起足够的重视,它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识,还可以进一步培养空间想象能力.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】点(1,0,2)位于()A.y轴上B.x轴上C.xOz平面内D.yOz平面内解析:点(1,0,2)的纵坐标为0,所以该点在xOz平面内.答案:C目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型二确定点的坐标【例2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;(2)求点N的坐标.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三解:(1)显然A(0,0,0),因为点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4,所以B(4,0,0).同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5).由于点C在坐标平面xOy内,BC⊥AB,CD⊥AD,则点C(4,3,0).同理可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标不同,|CC1|=|AA1|=5,则点C1(4,3,5).(2)由(1)知C(4,3,0),C1(4,3,5),则C1C的中点为4+42,3+32,0+52,即𝑁4,3,52.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三反思确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是:(1)过点P作PC⊥z轴于点C;(2)过点P作PM⊥平面xOy于点M,过点M作MA⊥x轴于点A,过点M作MB⊥y轴于点B;(3)设P(x,y,z),则|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|.当点A,B,C分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上时,则x,y,z的符号为正;当点A,B,C分别在x轴、y轴、z轴的负半轴上时,则x,y,z的符号为负;当点A,B,C与原点重合时,则x,y,z的值均为0.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1,建立空间直角坐标系,求点E,F的坐标.解:(方法一)如图,以A为坐标原点,以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为点E在xOy平面上的射影为B,又B(1,0,0),E为BB1的中点,所以点E的竖坐标为12,即E1,0,12.F在xOy平面上的射影为BD的中点G,竖坐标为1,故F12,12,1.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三(方法二)如方法一所建空间直角坐标系.因为B1(1,0,1),D1(0,1,1),B(1,0,0),E为BB1的中点,F为B1D1的中点,所以点E的坐标为1+12,0+02,1+02=1,0,12.点F的坐标为1+02,0+12,1+12=12,12,1.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型三对称点的坐标问题【例3】在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴上的分量不变,在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数,故对称点的坐标为(-2,-1,-4).(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴上的分量不变,在z轴上的分量变为原来的相反数,故对称点的坐标为(-2,1,-4).目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三(3)设所求对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,即x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,故P3(6,-3,-12).由中点坐标公式,可得2=-2+𝑥2,-1=1+𝑦2,-4=4+𝑧2,目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】已知点P(2,3,-1)关于坐标平面xOy的对称点为P1,点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,求点P3的坐标.解:点P(2,3,-1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,-3,1).