高一数学课件高中数学第一章缝隙高一数学课件

知识结构◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多,要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1.等价转化的数学思想;2.求补集的思想；3.分类思想；4.数形结合思想．【解题规律】1.如何解决与集合的运算有关的问题？(1)对所给的集合进行尽可能的化简；(2)有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；(3)有意识运用数轴或其它方法直观显示各集合的元素2.如何解决与简易逻辑有关的问题？(1)力求寻找构成此复合命题的简单命题；(2)利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题【集合基本概念】1.集合的分类：有限集、无限集、空集；2.元素与集合的关系：属于，不属于3.集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图4.子集、空集、真子集、相等的定义、数学符号表示及相关性质.5.全集的意义及符号6、集合中的元素属性：（1）（2）（3）7、常用数集符号：NZQR______8、子集：数学表达式_____________9、补集：数学表达式_____________10、交集：数学表达式____________11、并集：数学表达式____________12、空集：它的性质(1)(2)__________13、如果一个集合A有n个元素（CradA=n）,那么它有个子集，个非空真子集。运算交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B（读作‘A交B’），即AB=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A∪B（读作‘A并B’），即AB={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作CSA，即CSA={x|x∈S且x∈A}韦恩图示性质A∩A=AA∩Φ=ΦA∩B=B∩AA∩BAA∩BBA∪A=AA∪Φ=AA∪B=B∪AA∩BＡA∪BB(CuA)∩(CuB)=Cu(A∪B)(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)A∪(CuA)=UA∩(CuA)=Φ．AB图2AB图1SA注意:(1)元素与集合间的关系用符号表示；(2)集合与集合间的关系用符号表示。【解不等式】1、绝对值不等式的解法：(1)公式法：|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)(2)几何法(3)定义法（利用定义打开绝对值）(4)两边平方2.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0(a0)求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。3.分式、高次不等式的解法：4.一元二次方程实根分布：方程：ax2+bx+c=0的解情况函数：y=ax2+bx+c的图象不等式的解集ax2+bx+c＞0ax2+bx+c＜0a＞0xyox1x2xox0yxoy当⊿＞0时，方程有两不等的根：x1，x2当⊿＝0时，方程有一根：x0当⊿＜0时，方程无解{x∣x＜x1或x＞x2}{x∈R∣x≠x0}R{x∣x1＜x＜x2}ՓՓ简易逻辑1.命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2.逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q”)；p且q(记作“p∧q”)；非p(记作“┑q”)。3.“或”、“且”、“非”的真值判断（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真4、四种命题的形式：原命题：若P则q；逆命题：若q则p；否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。②、原命题为真，它的否命题不一定为真。③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)互为逆否四种命题的关系如下：原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若┓p，则┓q逆否命题：若┓q，则┓p互逆互否互逆互否互为逆否原命题：若p，则q否命题：若┓p，则┓q逆命题：若q，则p逆否命题：若┓q，则┓pqppq┓q┓p┓p┓q.6、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。7、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。判断两条件间的关系技巧：（1）___________________________________（2）_______________。如果，则p是q的充分条件qp如果，则p是q的必要条件pq注意：（1）复合命题的三种形式与假言命题中的四种命题的区别。（2）复合命题中的“p或q”与假言命题中的“若p则q”它们的“P”的区别。范例分析：例1．设，B={x|ax≤b}，且，求：a、b的取值范围．23|xyyABA分析：集合A是函数的值域，23xy由3≥3－x2≥0可知，∵∴A是B的子集，∴a0且．30yBA3b例2．若集合M={x|2x2－5x－3=0}，N={x|mx=1}，且NM，求实数m的取值集合．分析：解一元二次方程2x2－5x－3=0，可得到解x的方程mx=1时，应对m作出讨论；当m=0时，N=，此时NM成立；当m≠0时，，此时由NM，有或．解得m=－2或．综上得m的取值集合为{0，－2，}．3,21MmN1211m31m31m31例3．已知集合，，那么PQ等于（）RxxxP，22112xxQ(A){x|3≤x4}(B){x|0x3}(C){x|0x1或3≤x≤4}(D){x|0x1或3≤x4}分析：解不等式|x－2|2得－2x－22，可得P={x|0x4}．由不等式，得，，可得Q={x|x1或x≥3}．依据下图：得PQ={x|0x1或3≤x4}．于是得本题应选（D）．112x0121x013xx01234x例4．已知I为全集，集合M，NI，若MN=N，则（）NMNMNM(A)(B)(C)(D)NM分析：本题涉及到的集合都是未给出具体元素的抽象集合，研究其关系或运算，常借助于集合的文氏图进行．满足MN=N的集合M，N之间的关系只能是下图中的二种情况：MNIMNI于是可得．仍依上图可得．NMMN例5．已知集合P={(x，y)|y=2x+b}，Q={(x，y)|x2+y2－2x－4=0}．如果集合PQ恰有四个不同的子集，求实数b的取值集合．分析:本题关键在于认识“集合PQ恰有四个子集”的意义．由已知PQ恰有四个子集，故PQ中只可能有二个元素.从几何角度看，集合P表示一条直线，Q表示一个圆，PQ为以上直线和圆的公共点的集合．即直线和圆的公共点的个数为2，以此为据来求b的取值集合．直线方程变为2x－y+b=0．圆方程变为(x－1)2+y2=5．于是有解得－7b3．∴实数b的取值集合为{b|－7b3}．5502b2x－y+b=0(x－1)2+y2=5．-2-112321-1-2练习：1．下列四个集合中，是空集的是（）．(A){x|x+3=3}(B){x|x2+x+1=0，x∈R}(C){(x，y)|x2+y2=0，x，y∈R}(D){(x，y)||y|=－x2，x，y∈R}B∵0∈{x|x+3=3}，(0，0)∈{(x，y)|x2+y2=0，x，y∈R}，(0，0)∈{(x，y)||y|=－x2，x，y∈R}，当x∈R时，x2+x+10．∴选B2．已知全集I={x|x2－12x+20≤0，x∈N}，集合P={3，4，6，8}，Q={3，5，8，9}，那么集合{2，7，10}等于（）．(A)PQ(B)PQQP(C)(D)QPD解：x2－12x+20≤0得2≤x≤10，又x∈N，故I={2，3，4，5，6，7，8，9，10}．于是=｛2，5，7，9，10｝，=｛2，4，6，7，10｝∴=｛2，7，10｝PQQP3．设全集I=R，集合A={x||x－1|1，x∈R}，B={x|x2－3x+2≤0}，则以下四个结论中正确的结论序号是（）①AB={2}；BA②BA③④}10{xxBA②④易得A={x|x0或x2}，B={x|1≤x≤2}．再运用数轴可得．-3-2-1123450ABA4．已知集合P={y|y=－x2+2，x∈R}，Q={y|y=－x+2，x∈R}，那么PQ等于（）．(A)（0，2），（1，1）(B){（0，2），（1，1）}(C){1，2}(D){y|y≤2}D注意：集合P、Q中的元素都是实数，而不是实数对．P、Q可分别看作函数y=－x2+2（x∈R），y=－x+2（x∈R）的值域．由于P={y|y≤2}，Q=R，∴PQ={y|y≤2}．5．如果集合M满足M{7，13，20}，且M中至多含有一个奇数，那么符合上述条件的集合M共有_______个．6个分析：集合M满足两个条件：①是集合{7，13，20}的真子集；②其中至多含有一个奇数，即M的元素中或者没有奇数或者仅有一个奇数．还要注意空集是符合条件的．由上得M可能是，{20}，{7}，{13}，{7，20}，{13，20}．NM6．如图，I为全集，集合M，N满足：MN≠，那么图中红色阴影部分用集合表示，可表示为：__________IMN7．已知全集I=R，集合A={x||x|2，x∈R}，B={x|xa}，且，那么实数a的取值集合为_______________．BA{a|a≥2}∵A={x|－2x2}，={x|x≤a}．在数轴上寻找满足时点a的可能位置．BBAB-3-2-112oaA8．若集合A={x|x2－px－2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，其中p，q，r，x∈R，当AB={5，－2，1}，AB={1}时，p+q－r的值=_________．－12依题意：x=1是x的方程x2－px－2=0的解，故1－p－2=0，p=－1．∴A={1，－2}，B={1，5}．∴x=1，x=5是x的方程x2+qx+r=0的解于是r=1×5=5，q=－(1+5)=－6．∴p+q－r=－12．例9：指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假（1）“菱形的对角线互相垂直平分”（2）“2≤3”（3）“”A(AB)答案：（1）“p且q”，真命题；（2）“p或q”，真命题；（3）“非p”，假。例10：设命题为“若m0，则关于x的方程x2+x-m=0有实根”，试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假。思路：“关于x的方程x2+x-m=0有实根”等价于“Δ=1+4m≥0”。利用集合关系求解即可。例3：已知x，y，z均为实数，且，，求证：a，b，c中至少有一个大于0。2ax2y22by2z32cz2x6思路：“至少一个”的反面是“都不”。例11：命题p：一组对边平行的四边形是平行四边形；命题q：一组对边相等的四边形是平行四边形。写出由其构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并指出其真假。解：p或q：一组对边平行或相等的四边形是平行四边形；p且q：一组对边平行的四边形是平行四边形且一组对边相等的四边形是平行四边形；非p：一组对边平行的四边形不是平行四边形。小结：①写出一个命题的逆命题，否命题和逆否命题关键在于先将此命题写成“若P则Q”的形式。②写复合命题“p且q”时，不能将两个命题的条件复合，否则会导致错误。