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8.7立体几何中的向量方法知识梳理-2-知识梳理双基自测234151.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的非零向量e以及与的非零向量叫做直线l的方向向量.(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作.此时把叫做平面α的法向量.e共线垂直于n⊥α向量n知识梳理-3-知识梳理双基自测234152.线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量为n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1∥l2,那么e1∥e2⇔⇔.(2)如果l1⊥l2,那么e1⊥e2⇔⇔.(3)若l1∥α,则e1⊥n1⇔e1·n1=0⇔.(4)若l1⊥α,则e1∥n1⇔e1=μn1⇔.(5)若α∥β,则n1∥n2⇔n1=kn2⇔.(6)若α⊥β,则n1⊥n2⇔n1·n2=0⇔.e2=λe1a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1e1·e2=0a1a2+b1b2+c1c2=0a1x1+b1y1+c1z1=0a1=μx1,b1=μy1,c1=μz1x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2x1x2+y1y2+z1z2=0知识梳理-4-知识梳理双基自测234153.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角①范围:两条异面直线所成的角θ的取值范围是.②向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为θ,a与b的夹角为φ,则有cosθ=.(2)直线与平面所成的角①范围:直线和平面所成的角θ的取值范围是.②向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sinθ=或cosθ=sinφ.0,π2|cosφ|0,π2|cosφ|知识梳理-5-知识梳理双基自测23415(3)二面角①范围:二面角的取值范围是.②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的大小.二面角的大小就是向量𝐴𝐵与𝐶𝐷的夹角(如图①).[0,π]知识梳理-6-知识梳理双基自测234154.利用空间向量求距离(1)两点间的距离设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则|AB|=|𝐴𝐵|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2+(𝑧1-𝑧2)2.(2)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离为|𝐵𝑂|=|𝐴𝐵·𝑛||𝑛|.知识梳理-7-知识梳理双基自测234155.常用结论(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则𝐴𝐵及与𝐴𝐵平行的非零向量均为直线l的方向向量.(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组𝑛·𝑎=0,𝑛·𝑏=0求出平面α的一个法向量n.知识梳理2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.()(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.()(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×知识梳理-9-知识梳理双基自测234152.(教材习题改编P113T11)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.√22B.√155C.√64D.√63答案解析解析关闭建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则C1(√3,1,0),A(0,0,2),𝐴𝐶1=(√3,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0).所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为|𝐴𝐶1·𝑛||𝐴𝐶1||𝑛|=√3√8=√64.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测234153.已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空间直角坐标系中,如图所示,且CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.√55B.√53C.2√55D.35答案解析解析关闭不妨令CB=1,则CA=CC1=2.可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),∴𝐵𝐶1=(0,2,-1),𝐴𝐵1=(-2,2,1),∴cos𝐵𝐶1,𝐴𝐵1=𝐵𝐶1·𝐴𝐵1|𝐵𝐶1||𝐴𝐵1|=4-1√5×√9=1√5=√550.∴BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为√55.答案解析关闭A知识梳理-11-知识梳理双基自测234154.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.答案答案关闭13知识梳理-12-知识梳理双基自测23415解析建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).所以𝐴1𝐶1=(-1,2,0),𝐵𝐶1=(-1,0,1),𝐷1𝐶1=(0,2,0).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则有𝐴1𝐶1·𝑛=0,𝐵𝐶1·𝑛=0,即-𝑥+2𝑦=0,-𝑥+𝑧=0,令x=2,则y=1,z=2,则n=(2,1,2).设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ,则sinθ=|cos𝐷1𝐶1,n|=|𝐷1𝐶1·𝑛||𝐷1𝐶1||𝑛|=22×3=13.知识梳理-13-知识梳理双基自测234155.已知P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在平面α,β上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为.答案答案关闭90°知识梳理-14-知识梳理双基自测23415解析不妨设PM=a,PN=b,如图,作ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F.作ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F,∵∠EPM=∠FPN=45°,∴PE=√22a,PF=√22b.∴𝐸𝑀·𝐹𝑁=(𝑃𝑀−𝑃𝐸)·(𝑃𝑁−𝑃𝐹)=𝑃𝑀·𝑃𝑁−𝑃𝑀·𝑃𝐹−𝑃𝐸·𝑃𝑁+𝑃𝐸·𝑃𝐹=abcos60°-a×√22bcos45°-√22abcos45°+√22a×√22b=𝑎𝑏2−𝑎𝑏2−𝑎𝑏2+𝑎𝑏2=0.∴𝐸𝑀⊥𝐹𝑁.∴二面角α-AB-β的大小为90°.核心考点-15-考点1考点2考点3考点1利用空间向量证明平行、垂直例1如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB∥平面EFG.思考用向量法证明平行和垂直的常用方法有哪些?核心考点-16-考点1考点2考点3证明∵平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,∴AB,AP,AD两两垂直.以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).(方法一)易知𝐸𝐹=(0,1,0),𝐸𝐺=(1,2,-1).设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则𝑛·𝐸𝐹=0,𝑛·𝐸𝐺=0,即𝑦=0,𝑥+2𝑦-𝑧=0,核心考点-17-考点1考点2考点3令z=1,则n=(1,0,1)为平面EFG的一个法向量,∵𝑃𝐵=(2,0,-2),∴𝑃𝐵·n=0,∴n⊥𝑃𝐵.∵PB⊄平面EFG,∴PB∥平面EFG.(方法二)𝑃𝐵=(2,0,-2),𝐹𝐸=(0,-1,0),𝐹𝐺=(1,1,-1).设𝑃𝐵=s𝐹𝐸+t𝐹𝐺,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),∴𝑡=2,𝑡-𝑠=0,-𝑡=-2,解得s=t=2.∴𝑃𝐵=2𝐹𝐸+2𝐹𝐺.又𝐹𝐸与𝐹𝐺不共线,∴𝑃𝐵,𝐹𝐸与𝐹𝐺共面.∵PB⊄平面EFG,∴PB∥平面EFG.核心考点-18-考点1考点2考点3解题心得1.用向量法证明平行类问题的常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题核心考点-19-考点1考点2考点32.用向量法证明垂直类问题的常用方法线线垂直问题证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直问题证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题证明两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直核心考点-20-考点1考点2考点3对点训练1如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.核心考点-21-考点1考点2考点3证明(1)如图所示,以点O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是𝐴𝑃=(0,3,4),𝐵𝐶=(-8,0,0),∴𝐴𝑃·𝐵𝐶=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,∴𝐴𝑃⊥𝐵𝐶,即AP⊥BC.核心考点-22-考点1考点2考点3(2)由(1)知AP=5.又AM=3,且点M在线段AP上,∴𝐴𝑀=35𝐴𝑃=0,95,125.又𝐵𝐴=(-4,-5,0),∴𝐵𝑀=𝐵𝐴+𝐴𝑀=-4,-165,125,∴𝐴𝑃·𝐵𝑀=(0,3,4)·-4,-165,125=0,∴𝐴𝑃⊥𝐵𝑀,即AP⊥BM.又根据(1)的结论知AP⊥BC,∴AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.核心考点-23-考点1考点2考点3考点2利用空间向量解决探索性问题例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.思考立体几何开放性问题的求解方法有哪些?核心考点-24-考点1考点2考点3(1)证明以点A为原点,𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝐴1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E𝑎2,1,0,B1(a,0,1).故𝐴𝐷1=(0,1,1),𝐵1𝐸=-𝑎2,1,-1.∵𝐴𝐷1·𝐵1𝐸=-𝑎2×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.核心考点-25-考点1考点2考点3(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时𝐷𝑃=(0,-1,z0).𝐴𝐵1=(a,0,1),𝐴𝐸=𝑎2,1,0.设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).∵n⊥平面B1AE,∴n⊥𝐴𝐵1,n⊥𝐴𝐸,得𝑎𝑥+𝑧=0,𝑎𝑥2+