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§夹角和距离公式空间直角坐标系若a=a1i+a2j+a3kzxyojkiAOA=(x,y,z);则a=(a1,a2,a3)A(x,y,z)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)zxyojkix1y1a向量的直角坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)λa=（λa1,λa2,λa3)a·b=a1b1+a2b2+a3b3a//ba1=λb1,a2=λb2,a3=λb3（λ∈R）a⊥ba1b1+a2b2+a3b3=0设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：(1)线段AB的中点坐标和长度；zxyoA(3,3,1)B(1,0,5)M设M(x,y,z)是AB的中点，则OM=(OA+OB)AM=MB例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：(2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.解：设点P到A、B的距离相等，则化简，得4x+6y-8z+7=0即到A,B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足的条件是4x+6y-8z+7=0例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直线AB与EF所成的角.AA1D1C1B1BCDEFM∠MFE即异面直线AB与EF所成的角例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直线AB与EF所成的角.解：以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系.yxzA1D1C1B1ABCDFE例3.求证：如果两条直线垂直于一个平面，则这两条直线平行。已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O,B为垂足求证：OA∥BDoABDααzxyoBDAjik已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O,B为垂足求证：OA∥BD证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设BD=(x,y,z).如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量小结：(1)两个公式：已知：a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(2).向量的坐标及运算为解决线段长度及两线垂直方面的问题提供了有力和方便的工具，对于几何体中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，可将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，利用向量的方法解决。再见！