高三数学课件三垂线定理1高三数学课件

陕西汉中中学胡栋EMAIL:[e-mail]三垂线定理(06高考复习)复习回顾基础应用三垂线定理及其逆定理（一）PCBA能力拓展课堂练习一基本概念：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。2、“三垂线”的含义：（1）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直定理内容分析：二、基础性练习：1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与斜线的位置关系是（）（A）垂直（B）异面（C）相交（D）不能确定2、如图四面体中，如果AB是直径，Ｃ为圆周上任意点且ＰＡ垂直于平面ＡＢＣ．那么该四面体最多有多少个直角三角形（）（A）有一个直角三角形（B）有两个直角三角形（C）都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形DCPCBA三、例题分析：例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC⊥BD。证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作AO⊥平面BCD于O，连结BO，∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理）.同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC（三垂线定理）。OABCD例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影∵AC在平面AC内，∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD，请同学思考：如何证明BD1⊥AB1连结A1B例3.如图所示,已知PA⊥平ABC,∠ACB=90°，AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、∆PQR为直角三角形。证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直角三角形；ACPBQR∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直角三角形。√×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）四课堂练习1.判断下列命题的真假：面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直线A1C→斜线a直线AB→垂线b面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b2.在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1证明：∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影由三垂线定理知A1C⊥BC1.同理可证，A1C⊥B1D1CBA1B1C1ADD1CBA1B1C1ADD1小结：运用三垂线定理及逆定理证明两条异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线,平面的垂线，这是三垂线定理解题的关键.我们可以从以下三点加以理解:1°知识内容：三垂线定理及其逆定理；2°思想方法:转化的思想,转化的关键是:找平面的垂线3°应用步骤:分三个步骤-“一垂二射三证”１．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，DA=a，∠BDA=∠CDA=60°，∠BDC=90°，求BC的长。（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？五.布置作业：ACBA1B1C1DD1E·２．已知P在平面ABC内的射影是O，若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是△ABC的。若PA=PB=PC，则点O是△ABC的。若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的。探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是△PAC的垂心。探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，∠BPC=９０°．求证：∠BPA=９０°，∠APC=９０°。本节课到此结束