高三数学课件函数应用举例高三数学课件

3.3函数应用举例１．思想方法(1)方程思想就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.思想方法(2)函数思想函数的应用，实质上是函数思想方法的应用．其处理问题的一般方法是根据题意，建立“量”与“量”之间的函数关系，把实际问题转化为函数问题，通过函数问题的解决达到实际问题的解决．(3)函数思想与方程思想的关系函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；解不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间.与函数有关的应用题，经常涉及物价、利润、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.返回２．高考中经常涉及的问题一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.３.解答数学应用题的要领关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.（1）一次函数模型:y=kx+b（2）二次函数模型:（3）指数函数模型:（4）对数函数模型：（5）幂函数模型：４．常见的函数模型2yaxbxcxyabclogaymxnnyaxb５．解函数应用题的流程图实际问题建立函数模型分析联想抽象转化数学结果数学推理实际结果反译答6.命题预测按照新课表的理念，数学的应用应该得到加强，将函数和导数结合起来，利用函数建立模型，利用导数解决问题，通过函数模型的建立求问题的最优解法都是考察的方向。复习中要重视关于一次函数、二次函数、对数函数、指数函数的综合题型，重视关于函数的数学建模问题，重视函数在经济活动和生活实际中的应用问题，学会用数学思想和方法寻求规律找出解题策略。典型例题2500m21.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_______(围墙厚度不计).2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？3138(0120).12800080yxxx40x1002.540313(40408)2.517.512800080本题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（升）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()hx升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804hxxxxxxx332280080'()[phone]xxhxxxx令'()0,hx得80.x当(0,80)x时，'()0,()hxhx是减函数；当(80,120)x时，'()0,()hxhx是增函数。当80x时，()hx取到极小值(80)11.25.h因为()hx在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=tf；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=tg；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=;300200,3002,2000300tttt，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t－150)2＋100，0≤t≤300．——4分(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=300200210252720012000217521200122tttttt，，——6分当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=－2001(t－50)2＋100，所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200t≤300时，配方整理得h(t)=－2001(t－350)2＋100所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5．——10分综上，由10087.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．——12分3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?1022x解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2=4840．设纸张面积为S，有S=(x＋16)(λx＋10)=λx2＋(16λ＋10)x＋160，——3分将代入上式，得)58(10445000S58)185(85cm884840xcm558885x．——6分当时，即时，S取得最小值．——8分此时，高：，宽：．答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．——12分x4xx1.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨．20练习练习2.已知方程|x|-ax-1=0仅有一个负根,则a的取值范围是()A.a1B.C.a1D.1a1aD3.某一种商品降价10%后,欲恢复原价,则应上调()A.10%B.9%C.11%D.11.1%D，，1010104.偶函数f(x)在(-∞,0)内是减函数，若f(-1)＜f(lgx)，则实数x的取值范围是_________________________.练习5.已知函数(1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.，，122xxaxxxf练习高中数学易错、易混、易忘问题备忘录１．在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．２．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则．３．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称．4．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．5．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()fbafab6．原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数1()yfx也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如：1yx.7．根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值,作差,判正负.)8.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．9.用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件．10.你知道函数(0,0)byaxabx的单调区间吗？（该函数在(,],)ab和[ab或上单调递增；在[,0)]ab和（0，ab上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！高中数学易错、易混、易忘问题备忘录11.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.12.用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．13.用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略．高中数学易错、易混、易忘问题备忘录