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第84讲函数的连续性与导数的概念复习目标及教学建议基础训练知识要点双基固化能力提升规律总结复习目标掌握函数在某点处连续，在开区间、闭区间上连续的定义与判定方法，知道函数在某点处不连续三种类型.了解导数的实际背景，理解导数的定义，掌握导数的几何意义.教学建议本讲的重点是导数的定义及利用导数求曲线的切线方程.复习目标及教学建议2008高考复习方案基础训练1．①f(x)=.②y=x2(x≥1)x-1(x1)③y=2x+1(x≠0)0(x=0)④y=sinx其中在(-∞，+∞)不连续的函数有（）D第84讲函数的连续性与导数的概念A．0B．1C．2D．32008高考复习方案【解析】①、②、③为函数不连续的三种类型.第84讲函数的连续性与导数的概念2．已知函数f(x)在x=x0处及附近有定义，给出下列三①f(x)=f(x0)f(x)=(x)f(x)=f(x0)则函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是①.3．下列命题中假命题是（）ABCD．抛物线的切线与抛物线只有一个交点C2008高考复习方案D第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案D【解析】A4．若f′(x0)=2，则等于()A．-1B．-2C．1D．第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案DA5．若曲线y=h(x)在x=a处的切线方程为2x+y+1=0，那么()A．h′(a)0B．h′(a)0C．h′(a)=0D.h′(a)【解析】由导数几何意义可知，h′(a)是曲线在点P处切线的斜率，又由切线方程2x+y+1=0可知其斜率为-2，所以h′(a)=-20.故选A．第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案知识要点1．函数f(x)在点x0（1）函数f(x)在点x=x0（2）函数f(x)在点x=x0处有极限；（3）f(x)=f(x0).2函数f(x)在开区间(a,b)内连续，只要求在开区间(a,b)内任何点处连续即可，对在端点a,b处是否连续不要求.函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，除要求在其相应的开区间内(a,b)连续外，对端点只要求在左端点a处右连续，在右端点b处左连续.第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案3如果函数f(x)在闭区间［a,b］上是连续函数，那么f(x)在闭区间［a,b］上有最大值和最小值.4曲线y=f(x)上两点P、Q，Q在P附近，则PQ称为曲线的割线，当Q沿曲线无限接近点P，若割线PQ有极限位置，则割线PQ的极限位置叫做曲线上点P的切线.5曲线上有两点（x0，f(x0)），（x0+Δx），f（x0+Δx））.当Δx→0时，极限存在，称y=f(x)在x0处可导.并把这个极限值称f(x)在x0处的导数.第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案6．导数的物理意义函数s=s(t)的导数s′(t)表示t时刻的瞬时速度，即v=s′(t).瞬时速度v=v′(t)的导数v′=v′(t)是t时刻的加速度.a=v′(t).7若函数f(x)在x0处可导，则f′(x0)是以点（x0，f(x0)）为切点的切线的斜率.8可导一定连续，连续不一定可导.第84讲函数的连续性与导数的概念例1（1）f(x)=（2）f(x)=（3）f(x)=x-1(x≤1)3-x(x1).2008高考复习方案双基固化1．函数的连续性第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案D【解析】（1）由x2-3x+2=0得x=1或x=2，∴函数的不连续点为x=1和x=2.（2）当x=kπ(k∈Z)时，tanx=0，当x=kπ+(k∈Z时，tanx不存在，故函数f(x)=的不连续点为x=kπ和x=kπ+(k∈Z).（3）∵f(x)的定义域为(-∞，+∞)，第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案D∴f(x)在x=1处不连续.即x=1是此函数的不连续点.第84讲函数的连续性与导数的概念例2设f(x)=x-1(0x≤1),2-x(1x≤3).（1）求f(x)在点x=1处的左、右极限.在点x=1f(x)（2）f(x)在点x=1（3）求函数f(x)的连续区间；（42008高考复习方案【解析】（1）第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案（2）由于f(x)在点x=1处的极限不存在，故f(x)在x=1处不连续.（3）函数的连续区间是(0,1］,(1,3］.（4）∵点x=，x=2均在函数的连续区间内，第84讲函数的连续性与导数的概念例3设f(x)在R上可导.（1）利用定义求：f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数之间的关系.（2）利用定义证明：若f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数.2008高考复习方案2．导数的概念及几何意义的应用【证明】（1）记f(-x)=g(x)，则f(-x)在a处的导数为g′(a)，于是第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案D令x=-t，则当x→-a时，t→+a.于是第84讲函数的连续性与导数的概念例4偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解【解析】（1）∵图象过P(0，1)，∴e=1，又f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e②∴b=d=0∴ax4+cx2+1.第79讲导数的概念及计算∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2∴可得切点为（1，-1）.∴a+c+1=-1.即a+c=-2.∵f′(1)=［4ax3+2cx］=4a+2c∴4a+2c=1.由③、④得∴f(x)=第79讲导数的概念及计算例5[2007届·黄岗模拟题]如图12-84-1所示，曲线段OMB是抛物线y=x2（0＜x＜6）的一段，在点x=t（即点M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于Q且BA⊥x轴于A（1）试用t表示切线PQ的方程；（2）求△QAP的面积g(t)的表达示及g(t)的最大值.2008高考复习方案能力提升第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案D【解析】（1）∵y′=2xkl=y′|x=t=2t.切线PQ方程为y-t2=2t（x-t即y=2tx-t2（0＜t＜6（2）由（1）可知P(,0)，Q（6，12t-t2∴g(t)=|AP|·|AQ|=(6-)(12t-t2)=t3-6t2+36t（0＜t＜6），g′(t)=t2-12t+36=0得t=4，t=12第84讲函数的连续性与导数的概念2008高考复习方案D且0＜t＜4时，g′(t)＞0，∴g(t)在（0，4）上为增函数.4＜t＜6时，g′(t)＜0，∴g(t)在（4，6）上为减函数.故当t=4时，g(t)的最大值64.【小结】利用导数的几何意义求切线的斜率方便快捷，也是高考考查的热点.第84讲函数的连续性与导数的概念1．研究初等函数的连续区间，必须考虑函数的定义域.2．由初等函数构成分段函数的连续区间，只须考虑分界点处连续即可.3．研究函数的连续性，尽可能作出图象帮助思考.4（1）求函数值的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)（22008高考复习方案规律总结第84讲函数的连续性与导数的概念5．理解导数的物理意义和几何意义，会用导数求物体运动的瞬时速度，瞬时加速度及曲线的切线.2008高考复习方案第84讲函数的连续性与导数的概念