高三数学课件化归与类比高三数学课件

化归与类比的数学思想解题举例(一)授课人：赣州一中刘化运把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学思想，化归与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方法。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与类比思想解题的应用。一、新授（一）正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为——分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中,来求解（略解：）他四次射击未中1次的概率P1=0.14=0.14∴他至少射击击中目标1次的概率为1－P1=1－0.14=0.9999例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x－3)垂直平分.（分析）：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y=x2存在关于直线y=m(x－3)对称的两点，求m的范围。y=m(x－3)对称，则（略解）：抛物线y=x2上存在两点关于直线),(),(222211xx、xxmxxxx1212221221212(3)22xxxxm即消去x2得mxxxxmxx1)6(21212221),(),(222211xx、xx∵存在∴上述方程有解∴△=2231212mmm＞0∴)126)(12(2mmm＜0从而m＜21因此，原问题的解为｛m|m≥｝210161222121mmxmx当m=0的时候,直线y=0则y=显然不可能被直线y=0平分x2（二）一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择，填空题中非常适用。例1：设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=___________.【分析】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：S2、S1、S3成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.(略解)：qaaS1122111311,qaqaaSaS∵1322SSS∵1322SSS∴12111222aqaqaa(a1≠0)∴q=－2或q=0（舍去）A．B．C．2D．－2115115-【分析】：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，必为定值。可见直线l的变化不会影响λ的值。因此我们可取l为来求解的值。例2：已知平面上的直线l的方向向量e，点O(0，0)和A(1,－2)在l上的射影分别为,若,则λ为（）)53,54(eAOO',A'xy43).(,yxA(略解)：设l︰则xyxy431)43(12)56,58(A可得∴即可得eAO)53,54()56,58(=－2【分析】P、Q运动,四棱锥B—PAQC1是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决例3：设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—PAQC1的体积为：A．VB．VC．VD．V61413121ACBA1C1B1PQ【略解】取P与A重合，Q与C1重合的特殊情况VVVVABCCCACBPAQCB31111（三）主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。]1,1[a例1：≤0对上恒成立，求实数a的取值范围.例2：对任何函数的值总大于0，则实数x的取值范围是：_______22axx]1,1[xaxaxxf24)4()(2对于例1：令则从图像知2)(2axxxf)1(f)1(f－1≤a≤1≤0≤0对于例2：我们也可以变化为例1的形式只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：令为关于a的一次函数，)2()2()2()(2xxaxxg)1(g)1(g由图像知或x＜1或x＞3＞0＞0【分析】：将方程写成，并且用函数的观点认识，则m就成了x的二次函数，m的取值范围就是在定义域上，函数值的范围。322xxm),0(【略解】将方程转化为作出图像如图上和每一个m都有不同的两个不同的x1，x2与之对应。∴322xxm)4,3[m例4：关于x的二次方程在上有两个不等的实根，求m的范围。223+m=0xx),0(（四）数学各分支之间的转化数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。例1：在四面体ABCD内部有一点O，使得直线AO，BO，CO，DO与四面体的面BCD，CDA，DAB，ABC分别交于A1、B1、C1、D1四点，且满足:求K可能的取值。KODDOOCCOOBBOOAAO1111【分析】立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，于是命题可以从“△ABC内部有一点O，使得直线AO、BO、CO与三角形的三边BC、CA、AB交于点A1、B1、C1，且满足求K的可能取值”的推理过程探求思考途径，在平面几何中KOCCOOBBOOAAO111,1,1,1111111KSSOCCCKSSOBBBKSSOAAAOABBCAOCABCAOBCCAB据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理且,于是K=2131KSSSSOABOCAOBCABC【解析】在四面体中，有且∴K=311,111111KVVBBOBKVVAAOAABCDOCDAABCDOBCD11,111111KVVDDODKVVCCOCDABCOABCCABDOABD114KVVVVVABCDOABCOABDOCDAOBCD（五）陌生与熟悉的转化例1：学校将召开学生代表大会，高三有7个代表名额,要分配给5个班，每班至少有一个名额，问名额分配方法有多少种？解：（插板法)：例2：方程的正整数解的组数为多少解：7个“1”之间插四个板C46C46二、练习：1．已知下列三个方程：至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。022,0)1(,03442222aaxxaxaxaaxx2．过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线A、B两点，O为坐标原点，则的值为：_______A．12B．－12C．3D．－3OBOA3．对于满足|P|≤2的所有实数P，求使不等式＞2x+p恒成立的x的取值范围12pxx｛a|a≥-1或a≤－｝23｛x|x＜－1或x≤－3｝D4．在平面中，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积，试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命题___________三、小结：我们学习了化归与转化思想：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有该种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。类比与转化思想在教学中应用非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和类比。将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从问题得到解决，类比与转化的类型很多，归纳如下：（过三棱锥的顶点及底面的中线的截面平分三棱锥的体积）高次问题——→低次问题多元问题——→一元问题超越运算——→代数运算无限问题——→有限问题空间问题——→平面问题几何问题——→代数问题复杂问题简单问题未知问题已知问题转化转化谢谢指导