搜索
的圆方程知识梳理1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。2、圆的标准方程：其中圆心为(a,b)，半径为r.说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.知识梳理3、圆的一般方程：其中圆心为，半径为.说明：1、项的系数相同，没有项。2、求圆的一般方程，只需求D、E、F三个参数。3、4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．方程表示圆方程表示一个点方程不表示任何图形（D2+E2－4F＞0）知识梳理4、圆的参数方程：其中圆心为(a,b)，半径为r.说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径与x轴的圆心角的关系。2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.点击双基1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是.3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当br时，圆与x轴相交点击双基解析：由D2+E2－4F0，得7t2－6t－10，即，答案为C1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是..解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部，所以（5a+1－1）2+（12a）21即(13a)21点击双基3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当br时，圆与x轴相交解析：已知圆的圆心坐标（a，b），半径为r，当br时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|r时，才有圆与x轴相交，而br不能保证|b|r，故D是错误的.故选D.典例剖析【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为，求此圆的方程。分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2.又因为直线y=x截圆得弦长为，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.典例剖析【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为，求此圆的方程。分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2.又因为直线y=x截圆得弦长为，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a0）得=a，化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.当a=1时，方程化为x=0.所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，方程化为所以a≠1时，点P的轨迹是以点为圆心,半径为的圆练习反馈1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=02.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条3.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.5.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=0解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.解析：圆心（－，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：15.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.答案：（－1，2）能力培养.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.思悟小结