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复合函数的导数一、复习与引入：1.函数的导数的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.3.导数的四则运算法则.4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它的办法求导呢?又如我们知道函数y=1/x2的导数是=-2/x3,那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.二、新课——复合函数的导数：1.复合函数的概念:对于函数y=f[(x)],令u=(x),若y=f(u)是中间变量u的函数,u=(x)是自变量x的函数,则称y=f[(x)]是自变量x的复合函数.2.复合函数的导数:设函数在点x处有导数,函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数,则复合函数在点x处也有导数,且或记如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u=3x-2,则从而.结果与我们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.在书写时不要把写成,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量的求导.3.复合函数的求导法则:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.法则可以推广到两个以上的中间变量.求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量.复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.三、例题选讲：例1:求下列函数的导数:解:设y=u5,u=2x+1,则:解:设y=u-4,u=1-3x,则:解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;解:(3)y=tan3x;解:(2)解:(4)解:(5):y=sin2(2x+π/3)法一:法二:练习1:求下列函数的导数:答案:例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R=10cm时,圆面积增加的速度.解:由已知知:圆半径R=R(t),且=2cm/s.又圆面积S=πR2,所以=40π(cm)2/s.故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.例4:在曲线上求一点,使通过该点的切线平行于x轴,并求此切线的方程.解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:切线斜率把x0=0代入曲线方程得:y0=1.所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点处的切线互相垂直.证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨证明过P点的两条切线互相垂直.由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得同理由4x2+9y2=72得因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.例6:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解:说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以证明:证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x求导得:,故为奇函数.同理可证另一个命题.我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).两边同时对x求导得:即也是以T为周期的周期函数.例7:求函数的导数.说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用定义来讨论分段点的可导性.解:当x≠1时,.又,故f(x)在x=1处连续.而从而f(x)在x=1处不可导.四、小结：利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们不便去过多的去研究.下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.)例子:求椭圆在点处的切线方程.解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x的函数)得:于是所求切线方程为:备用利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)过椭圆上一点P0(x0,y0)的切线方程是:(2)过椭圆上一点P0(x0,y0)的切线方程是:(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0).(3)过双曲线上一点P0(x0,y0)的切线方程是:证:设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu,Δy.因为在点x处可导,所以在点x处连续.因此当Δx→0时,Δu→0.当Δu≠0时,由,且得:当Δu=0时,公式也成立.上面的证明其实不是一个很严格的证明,而且中间还会有不少的疑问,譬如,Δu=0时公式也成立,怎样去理解;Δx→0时与Δu→0时的极限相等问题等等.因此同学们只要了解公式证明中的基本思想和方法即可,不必过多的去深究证明的过程.因为事实上,还有更严格的证明.