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.Word文档2020中考数学复习指南：《二次函数》压轴训练1．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（5，0），B（1，4）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标；（3）在线段AB右侧的抛物线上是否存在一点P，使得AB分△OPA的面积为1：2两部分？存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由．解：（1）将点A，B的坐标代入抛物线表达式，得：，解得：，所以抛物线的表达式为：y＝﹣x2+5x（2）求得直线AB的表达式为：y＝﹣x+5；过点P作直线PQ∥y轴交AB点Q，设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，﹣m+5）．当点P在Q上方时，，∴，解得m1＝2，m2＝4，.Word文档即P1（2，6），P2（4，4）当点P在Q下方时，，∴，解得，（舍去），即综上，点P的坐标为：P1（2，6），P2（4，4）或；（3）由直线AB的表达式为：y＝﹣x+5；令x＝0，则y＝5，即直线AB交y轴于点D（0，5）．设AB交OP于点C，当OC＝2PC或2OC＝PC时，则AB分△OPA的面积为1：2．∵PQ∥y轴交AB点Q，∴∠PQC＝∠ODC，∵∠PCQ＝∠OCD，∴△ODC∞△PQC．∴．①当OC＝2PC时，，由（2）得：PQ＝（﹣m2+5m）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+6m﹣5，即，解得，即．②当2OC＝PC时，PQ＝10，由（2）得：PQ＝（﹣m2+5m）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+6m﹣5，即﹣m2+6m﹣5＝10，所得方程无解．综上所述：点P的坐标为．2．如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．.Word文档（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．解：（1）当y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1过原点（0，0）时，0＝﹣1﹣m2+2m+1，得m1＝0，m2＝2，当m1＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+1，当m2＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+1，由上可得，当m＝0或m＝2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1，∴该抛物线的顶点P为（1，﹣m2+2m+1），当﹣m2+2m+1最大时，△PCD的面积最大，∵﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2，∴当m＝1时，﹣m2+2m+1最大为2，∴y＝﹣（x﹣1）2+2，当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+2，得x1＝1+，x2＝1﹣，∴点C的坐标为（1﹣，0），点D的坐标为（1+，0）∴CD＝（1+）﹣（1﹣）＝2，∴S△PCD＝＝2，即m为1时△PCD的面积最大，最大面积是2；（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位A（2，3﹣n），B（5，3﹣n）当线段AB分成1：2两部分，则点（3，3﹣n）或（4，3﹣n）在该抛物线解析式上，把（3，3﹣n）代入抛物线解析式得，3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，得n＝m2﹣2m+6；把A（4，3﹣n）代入抛物线解析式，得3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，得n＝m2﹣2m+11；.Word文档∴n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6；（2）△BCD的面积存在最大值，理由如下：∵y＝﹣x2+x+6，当x＝0时，y＝6，∴C（0，6），设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：设直线BC的解析式为y＝kx+c，把B（4，0），C（0，6）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，.Word文档∴设点E的坐标为（m，﹣m+6），则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，∵﹣＜0，∴当m＝2时，△BCD的面积最大＝6，﹣m2+m+6＝6，∵1＜m＜4，此时点D的坐标为（2，6）；（3）存在，理由如下：（3）分情况讨论：①当BD是平行四边形的一条边时，如图2所示：M、N分别有三个点，设点N（n，﹣n2+n+6），∵D（2，6），∴点N的纵坐标为绝对值为6，即|﹣n2+n+6|＝6，解得：n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，故点N、N′、N″的横坐标分别为：0，1+，1﹣，∵BD∥MN，B（4，0），D（2，6），∴点M的坐标为：（2﹣0，0）或（1+﹣2，0）或（1﹣﹣2，0）；即点M的坐标为：（2，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）；②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：∵点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），∴N与C重合，BM＝CD＝2，∴M（4+2，0），即M（6，0）；综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．.Word文档4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值围．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），.Word文档∴，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y轴，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解得或，∴D（1，4），此时P（1，2）；当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，.Word文档代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此时P（2，1）；当PC＝PD时，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此时P（3﹣，）；综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），设N（1，n），则0≤n≤4，取CM的中点Q（，），∵∠MNC＝90°，∴NQ＝CM，∴4NQ2＝CM2，∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，∴4[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，整理得，m＝（n﹣）2﹣，∵0≤n≤4，当n＝时，m最小值＝﹣，n＝4时，m＝5，综上，m的取值围为：﹣≤m≤5．5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（4，0）和点D（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC（1）求这个二次函数的表达式；（2）点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ.Word文档①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵二次函数的图象经过A（4，0）和点D（﹣1，0），∴，解得，所以，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）①延长NQ交x轴于点P，∵BC平行于x轴，C（0，4）∴B（3，4），NP⊥OA．根据题意，经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，∴QN＝CN＝3﹣t，∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣（3﹣t）＝1+t，∴＝﹣t2+t+2．∴．∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．当t＝时，S最大值＝．②存在点M，使得△AQM为直角三角形．设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．Ⅰ．若∠AQM＝90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．.Word文档∴PQ是底边MA的中线，∴PQ＝AP＝MA，∴1+t＝（4﹣2t），解得，t＝，∴M的坐标为（1，0）．Ⅱ．若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合．∴QM＝QP＝MA，∴1+t＝4﹣2t，∴t＝1，∴点M的坐标为（2，0）．所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为（1，0）和（2，0）．6．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．解：（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，将B（2，0）代入，0＝a（2﹣1）2﹣1，∴a＝1，抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，将B（2，0）代入y＝kx+2，0＝2k+2，k＝﹣1，∴直线BC的解析式：y＝﹣x+2；（2）联立，解得，，.Word文档∴C（﹣1，3），∵A（1，﹣1），B（2，0），∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；（3）如图，作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，∴点A与A'关于直线BC对称，AB＝A'B，可知△AGB≌△A'HB（AAS），∵A（1，﹣1），B（2，0）∴AG＝1，BG＝OG＝1，∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3，∴A'（3，1），∵C（﹣1，3），∴直线A'C：y＝﹣x+，联立：，解得或，∴E（）；（4）∵抛物线的对称轴：直线x＝1，∴设F（1，m），直线BC的解析式：y＝﹣x+2；∴D（0，2）∵B（2，0），∴BD＝BF＝，.Word文档DF＝＝，①当BF＝BD时，，m＝±，∴F坐标（1，）或（1，﹣）②当DF＝BD时，＝2，m＝2，∴F坐标（1，2+）或（1，2﹣）③当BF＝DF时，＝，m＝1，F（1，1），此时B、D、F在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F的坐标（1，）或（