高三数学课件导数的应用3高三数学课件

数学第三册（选修I）第二章《导数》平潭一中任荣复习1、某点处导数的定义——这一点处的导数即为这一点处切线的斜率Δx)f(xΔx)f(xlim)(xf000Δx0`2、某点处导数的几何意义——3、导函数的定义——Δxf(x)Δx)f(xlim(x)f0Δx`4、由定义求导数的步骤（三步法）f(x)Δx)f(xΔy求增量(1)Δxf(x)Δx)f(xΔxΔy算比值(2)ΔxΔylimy求极限(3)0Δx5、求导的公式与法则——0)(/C)()(*1/Nnnxxnn如果函数f(x)、g(x)有导数，那么(x)g(x)fg(x)][f(x)///(x)Cff(x)][C//6、求导的方法——定义法公式法练习：1、求下列函数的导数（1）y=（x2-3x+2）（x4+x2-1）（2）y=（x/2+t）22、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f`（0）=0，f`（1）=1，f`（2）=8，求a、b、c3、抛物线f（x）=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴？在哪一处的切线与x轴的交角为450？1、确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?引例8642-2-4-6-8-10-5510AB:x=2.00fx=x2-4x+3AB在（-∞，2）上是减函数；在（2，+∞）上是增函数。2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?引例用定义法判断函数单调性的步骤：（1）在给定的区间内任取x1x2;(2)作差f（x1）-f（x2）并变形;（3）判断符号;（4）下结论。单调性定义讨论函数单调性是根本，但有时十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如：f(x)=2x3－6x2+7。这就需要我们寻求一个新的方法。发现问题引入：函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？研究函数二次y=x2－4x＋3的图象；探究观察三次函数y=x3的图象；观察某个函数f(x)的图象。观察一次函数y=kx+1的图象；若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即在（a，b）内的每一点处的导数值为正若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，分析：从图形看设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法结论：y`0增函数y`0减函数定理：一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：如果恒有，则是增函数。如果恒有，则是减函数。如果恒有，则是常数。0(x)f'0(x)f'0(x)f'注意：函数y=f(x)在某个区间内为常数，当且仅当f'(x)=0在该区间内恒成立时，否则可能使f'(x)=0的点只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行），实际上，若在某区间上有有限个点使f'(x)=0，在其余的点恒有f'(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似)f(x)f(x)f(x)例如:函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内,当x=0时,f'(x)=0,当x≠0时,f'(x)=3x20,y=f(x)在(-∞,+∞)内为增函数在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.知识提炼2005年5月23日导数的应用用导数研究函数的单调性一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果在这个区间内f′(x)0,则f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f′(x)0,则f(x)为这个区间内的减函数.注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数。判断方法研究数学问题的一般方法：从特殊到一般；从简单到复杂。结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，因此今后我们可以利用导数法去探讨函数的单调性下面举例说明：例题讲解解题步骤:1、求函数的导函数；2：判断导函数在指定区间上的符号；3、下结论。例1、求证：函数y=x3+1在上是增函数。(,0)根据导数确定函数的单调性一般需三步：1.确定函数f(x)的定义域；2.求出函数的导数；3.解不等式f′(x)0,得函数单增区间;解不等式f′(x)0,得函数单减区间。例2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?例1、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f`(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（3）求解不等式f``(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间注、单调区间不以“并集”出现。导数的应用一、判断单调性、求单调区间课堂练习1、确定下列函数的单调区间。yxxx32(1)924;3(2)3.yxx单调增区间为：（4，+∞）和（-∞，2）单调减区间为：（2，4）单调增区间为：（-1，1）单调减区间为：（-∞，-1）和（1，+∞）课堂练习2,设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=/(x)的图象如左图所示,则y=(x)的图象最有可能的是()xyO12(B)xyO12(A)xyO12yx12(C)OxyO12(D)C1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)0,则f(x)为增函数;如果f′(x)0,则f(x)为减函数。2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中应用。3.掌握研究数学问题的一般方法：从特殊到一般；从简单到复杂。课堂总结1：能不能画出该函数的草图？思考题函数f(x)=2x3－6x2+7作业布置课堂作业：课本p42习题2.41,2课外作业：已知函数f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;函数的极值与导数【复习与思考】(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)【函数极值的定义】(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。【问题探究】函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x0)0右侧f/(x0)0,那么f(x0)是极大值【函数的极值与导数的关系】(2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x0)0右侧f/(x0)0,那么f(x0)是极小值(1)求导函数f`(x)；(2)求解方程f`(x)=0；(3)检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。用导数法求解函数极值的步骤：例题:求函数的极值.44313xxy【课堂练习】课本P42例2:求函数的极值.1)1(32xy【思考交流】导数值为0的点一定是函数的极值点吗?对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.一、复习：1、；2、3、求y=x3—27x的极值。___________/nx_____________)()(/xgxfC导数的应用之三、求函数最值.在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______xX2oaX3bx1一是利用函数性质,二是利用不等式三是利用导数注：求函数最值的一般方法：在区间上求函数的最大值与最小值的步骤：1、函数在内有导数；2、求函数在内的极值3、将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2法二、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1,2）2（2,5）5y，0y-+3112课本练习例1、求函数在区间上的最大值与最小值。5224xxy2,2解：先求导数得，令＝0即解得导数的正负以及，如下表xxy443//y0443xx1,0,1321xxx/y)2(f)2(fX－2（－2，-1）-1（－1，0）0（0，1）1（1，2）2y/_0＋0－0＋y1345413从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值42x1x在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。例2用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与产量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。四、小结：1、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值导数导数的定义求导公式与法则导数的应用导数的几何意义多项式函数的导数函数单调性函数的极值函数的最值基本练习1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为()(A)–5(B)–6(C)–7(D)–82、函数y=x100+2x50+4x25的导数为()(A)y’=100(x99+x49+x24)(B)y’=100x99(C)y’=100x99+50x49+25x24(D)y’=100x99+2x493、已知过曲线y=x3/3上点