高三数学课件导数的背景高三数学课件

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引入:一、切线问题:(1)对于简单的曲线,如圆和圆锥曲线,它们的切线是如何定义的?(2)与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线?(3)曲线的切线与直线是否只有一个交点?二、最值问题:求函数y=x3-2x-1,x∈[-1,1]的最大值和最小值。第三章导数3.1.1曲线的切线一.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,.tan,,:xyyMQxMP则.就是割线的斜率表明:xyPM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.注:(1)切线是割线的极限位置,切线的斜率是一个极限(2)若割线在P点有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;(3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.(3)曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗?例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步:(1)求⊿y;并整理;求xy)2(;求xyx0lim)3(求曲线在某点处的切线方程:先利用切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.的切线的斜率。处,在点:求曲线例)11(12Pxy练习:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解:.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.一般地,设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(二、瞬时速度:ttsttststvtt)()(limlim)(00平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.物体在时刻t的瞬时速度,就是物体在t到t+Δt这段时间内,当Δt→0时的平均速度的极限;例3:物体作自由落体运动,运动方程为:g=10m/s2,位移单位是m,时间单位是s,.求:221gts(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度;(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度;(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.解:)(212__tggtsvsss(2+t)Os(2)(1)将Δt=0.1代入上式,得:./5.2005.2__smgv(2)将Δt=0.01代入上式,得:./05.20005.2__smgv的极限为:从而平均速度当__,22,0)3(vtt./202limlim0__0smgtsvvtt即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求t=1时刻的瞬时速度.求瞬时速度一般可以分为三步:(1)求⊿s;并整理;求ts)2(;求tst0lim)3((1)能从极限的角度理解曲线在点P处切线的定义;小结:能求曲线在点P处切线的斜率及方程;(2)能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度能求某时刻的瞬时速度备用:已知曲线上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.222xy,22)1(2)1()1(,lim:20xfxfyxyKxP而解.12212422)1(24lim]22)1(2[)(24lim22)1(2limlim20220200xxxxxxxxxyxxxx.45,45,1tan等于点切线的倾斜角即过PKP故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.练习:求曲线上一点P(1,-1)处的切线方程.31xy答案:y=3x-4.

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