高三数学课件数学归纳法的应用高三数学课件

数学归纳法的应用苍南中学:叶思迁2005年3月￭数学归纳法在恒等式问题、整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中有着广泛的应用。例4、用数学归纳法证明：42n+1+3n+2(n∈N*)能被13整除。证明：1）n=1时：42×1+1+31+2=91，能被13整除。2）假设当n=k(k∈N)时,42k+1+3k+2能被13整除，当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2=4(2k+1)+2+3(k+2)+1=16(42k+1+3k+2)-13•3k+2…………()∵42k+1+3k+2及13•3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除。∴42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。……核心步骤多退少补（密诀）例5、用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。证明：1）n=1时：x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。2）假设当n=k(k∈N)时有x2k-y2k能被x+y整除,当n=k+1时由1）、2）可知，对一切n∈N，x2n-y2n都能被x+y整除。=(x2k-y2k)•x2+y2k(x2-y2)………（）∵(x2k-y2k)和(x2-y2)都能被x+y整除，∴（）式也能被x+y整除。即：n=k+1时命题也成立……核心步骤多退少补（密诀）例6、求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,当n=k+2时:xk+2+yk+2=xk•x2+yk•y2=xk•x2+yk•x2-yk•x2+yk•y2=(xk+yk)•x2-yk(x2-y2)=(xk+yk)•x2-yk(x-y)(x+y),∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除，即当n=k+2时命题仍成立。由1）、2）可知，对一切正奇数n，都有xn+yn能被x+y整除。平面上有条直线，任意两条不平行，任意三条不共点.求证：①共有交点个②构成线段或射线条③把平面分成部分.例8、已知数列{an}中，a1=,其前n项和Sn满足：(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明之。解：S1=a1=,S2=,S3=,S4=.猜想：Sn=，下证明之。证明：1）n=1时由前可知，猜想正确。2）假设当n=k(k∈N)时有：Sk=,∴当n=k+1时猜想仍正确。由1）、2）可知，对一切n∈N猜想均正确。………例9、∴当n=k+1时，不等式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N，原不等式均成立。练习：1、求证：n3+5n能被6整除。2、证明凸n边形对角线条数为f(n)=(n4)。3、数列{an}和{bn}满足an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列。已知a1=1,b1=2,a2=3,求a4,b4,并猜想an,bn,用数学归纳法证明。（3、）数学归纳法的应用（之二）：1、证明整除问题时注意构造的技巧----多退少补，常用增项减项或拆项的方法；2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况；3、“归纳、猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分析问题、解决问题的方法。4、证明不等式时常用放缩法。作业：1、仔细体会、琢磨数学归纳法的运用规律及题型特点。2、完成《创新作业本》中的相关内容祝同学们学习愉快人人成绩优异！2004，11，20哥德巴赫猜想德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.返回