高三数学课件数学归纳法高三数学课件

数学归纳法四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？2思考n(n-3)2这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？同上述理由，每个顶点处可作(n-3)条对角线，n个顶点共可作n(n-3)条，重复一次。59猜想：n边形（n≥4）有多少条对角线？为什么？每个顶点处有3条对角线，6个顶点，每条对角线都计算了两次。一个数列的通项公式为an=(n2－5n+5)2试计算a1,a2，a3,a4。但当n=5时，a5=25≠1a1=a2=a3=a4=1，于是猜想an=1特殊一般一、归纳法：由一系列有限的特殊事例得到一般结论的推理方法。?完全归纳法不完全归纳法二、归纳法分类：对考察对象一一考察后得出结论三、数学归纳法怎样由归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的真假呢？先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立。这种证明方法叫数学归纳法。例1.用归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对一切n∈N*都成立。证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0d=a1等式成立。(2)假设当n=k时等式成立，即ak=a1+(k－1)d则ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+[(k+1)－1]d即当n=k+1时，等式也成立。由(1)(2)可知，等式对任何n∈N*都成立。用数学归纳法证明命题的步骤:⑵、假设当n=k(kN*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。（递推的基础）(递推的依据）⑴、证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确；例2.用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n27531nn证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。(2)假设当n=k时，等式成立.即：1+3+5+…+(2k－1)=k2那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1]=k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2即当n=k+1时等式成立。由(1)(2)可知等式对任何n∈N*都成立。㈠、满足步骤⑴，不满足步骤⑵：12+22+32+…+n2=(5n2-7n+4)/2当n=1,2,3时满足，n=4时就不成立了。㈡、满足步骤⑵，但不满足步骤(1)：1+2+3+…+n=〔n(n+1)／2〕＋1运用数学归纳法证明题应注意：（3）书写格式（两个步骤一个结论）。（1）两个步骤缺一不可；（2）证明n=k+1，命题成立时，必须利用假设；练习：用数学归纳法证明：1、1+2+3+…+n=n(n+1)12证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=×1×(1+1)=1等式成立。（2）假设当n=k时成立，即1+2+3+…+k=k(k+1)则当n=k+1时，左边=1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)+(k+1)=(k+1)[(k+1)+1]右边=(k+1)[(k+1)+1]即n=k+1时成立。由(1)(2)可知等式对任何n∈N*都成立12121212122、1+2+22+…+2n-1=2n-1证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=21–1=1等式成立。（2）假设当n=k成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1则当n=k+1时，左边=1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1=右边即n=k+1时成立。由(1)(2)可知等式对任何n∈N*都成立证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1q1-1=a1等式成立。（2）假设当n=k时成立，即ak=a1qk-1则当n=k+1时，ak+1=akq=a1qk-1q=a1q(k+1)-1即n=k+1时成立。由(1)(2)可知等式对任何n∈N*都成立3、首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1小结：1.归纳法（完全归纳法和不完全归纳法）2.数学归纳法定义。3.数学归纳法步骤。4.“观察—猜想—证明”是解决与正整数有关的问题的有效途径。已知：数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3×2n-1，计算：a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式并证明你的结论。作业：