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2006年名师课堂辅导讲座—高中部分高三数学复习，已到了第二阶段，即专题复习阶段及综合复习阶段。这个阶段的复习，对提高学生的解题能力非常重要；这是因为在这段复习中往往融汇了高中数学的各章节的知识点。综合性强对学生的运算能力、推理能力、逻辑思维能力、空间想象能力、创新能力、创新意识及分析问题解决问题的能力要求高了，对学生的解题技巧、解题能力的要求增强了。所以，通过专题复习，强化重点，突破难点，强化技能往往能达到事半功倍的效果。例1、已知函数y=f(x)是R上的偶函数且对称轴为x=a(a≠0)，求函数y=f(x)的周期解：由已知，f(-x)=f(x)——①由对称轴x=a，得f(-x)=f(x+2a)——②由①，②可得f(x+2a)=f(x)即f(x)的一个周期为T=2|a|例2、已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且对称轴为x=a，求函数y=f(x)的周期解：由已知f(-x)=-f(x)——①由对称轴为x=a，得f(-x)=f(x+2a)——②由①，②可得f(x+2a)=-f(x)即f(x)=-f(x+2a)=-[-f(x+4a)]=f(x+4a)所以f(x)的一个周期为T=4|a|上面两个例题中的对称轴x=a中的a可取若干值，在实际问题中要注意运用，尤其要注意与大题的综合运用，可当做模型加以记忆。例3、已知函数f(x)是在R上的偶函数，且满足f(x+1)+f(x)=1，当x∈[1,2]时，f(x)=2-x，求f(-2003.5)的值解：由f(x+1)+f(x)=1，得f(x+1)=1-f(x)=1-[1-f(x-1)]=f(x-1)即f(x+1)=f(x-1)，∴f(x)的周期T=2又∵f(x)是R上的偶函数，∴f(-2003.5)=f(2003.5)=f(1.5)=2-1.5=0.5例4、函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1。（1）求证：f(x)是R上的增函数。（2）若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3。解：（1）设x1、x2∈R且x1x2，则x2-x10，∴f(x2-x1)1f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10∴f(x1)f(x2)即f(x)是R上的增函数。（2）f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，∴f(2)=3∴原不等式可转换为f(3m2-m-2)f(2)∵f(x)是R上的增函数，于是有3m2-m-22解得-1m例5、函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0。（1）求f(0)的值。（2）求f(x)的解析式。（3）当函数g(x)=(x+1)f(x)-a[f(x+1)-x]在区间(-1,2)上是减函数时，求实数a的范围。解：（1）令x=1，y=0得f(1)-f(0)=f(1+1)·1=2，∴f(0)=-2（2）令y=0，得f(x)-f(0)=x(x+1)∴f(x)=x2+x-2（3）g(x)=(x+1)(x2+x-2)-a[(x+1)2+(x+1)-2-x]=x3+(2-a)x2-(1+2a)x-2g′(x)=3x2+2(2-a)x-(1+2a)∵g(x)在(-1,2)上是减函数∴g′(-1)≤0g′(2)≤0此题中，函数与导数的有机结合应引起重视，因为导数在函数的单调性中的应用是当前高考的热点、重点。解得a≥例6、已知函数f(x)=-ax(a0)（1）若lg[f(x)]为奇函数，求a的值。（2）若a≥1，判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性，并证明。（3）若a=1，数列{an}的前n项和为Sn，满足S1=1，an0，an=f(Sn-1)(n≥2)，求数列{an}的通项公式。解：（1）∵lg[f(x)]是奇函数，∴lg[f(x)]+lg[f(-x)]=0即lg[-ax]+lg[+ax]=0，lg[x2+a2-a2x2]=0∴x2+a2-a2x2=1，(1-a2)x2=1-a2∵x∈R∴1-a2=0，a=1（2）可判断f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数，法一：任取x1x2，f(x2)-f(x1)=a(x1-x2)+当a≥1时，x1-a0，x2-a0x2-x100∴f(x2)-f(x1)0∴f(x2)f(x1)∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数。法二：f′(x)=-a=∵a≥1∴x-a0∴f′(x)0∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数。（3）∵a=1∴an=f(Sn-1)=-Sn-1∴an+Sn-1=由于an=Sn-Sn-1∴Sn=∴Sn2-S2n-1=1(n≥2)∴数列{Sn2}是公差为1，首项为S12=a12=1的等差数列∴Sn2=nSn=an=∴an=(n=1)(n≥2)