高三数学课件高三数学辅导讲座函数三高三数学课件

函数（三）主讲人滕州一中王洪涛例1已知函数(a＞0且a≠1)在其定义域[－1,1]上是减函数，则实数a的取值范围是___________.六、幂函数、指数函数与对数函数【讲解】由a＞0且a≠1知t＝3－ax是减函数，从而lg(3－ax)也是减函数，故只有a＞1时，f(x)才是减函数；另外，x[－1，1]时，要保证3－ax＞0，为此只须考虑最小值：x＝1时,tmin=3－a，要3－a＞0，则a＜3，综上知1＜a＜3．例2如果不等式x2－＜0在区间上恒成立，那么实数a的取值范围是___________．【讲解】设y＝x2①y＝②当a＞1时，函数②在上取负值，因此不可能有x2＜成立．在上函数①的最大值是，在上，当0＜a＜1时，②的最小值是，在上，x2＜恒成立当0＜a＜1时，由，得∴例3.化简(1)(2)(3)略解：(1)x的指数是0,所以原式=1(2)x的指数是=0所以原式=1(3)原式=例4.若，求解：因为所以f(x)+f(1-x)=1解：令121995=a0则¸所以例6.已知函数f(x)=logax(a0,a≠1,x∈R+)若x1,x2∈R+,试比较与的大小例7.已知y1=，y2=当x为何值时(1)y1=y2(2)y1y2(3)y1y2例8.对于自然数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w若(1)ax=by=cz=70w(2)求证：a+b=c例9.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3A4证明：由于p、q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(64×31)=lg19841000198410000故3A4例10.设f(x)=logax(a0,a≠1)且(θ为锐角)，求证：1a15证明：∵θ是锐角，∴从而a1又f(15)==sinθ+cosθ故a15综合得：1a15证：因为0a1，所以ax0,ay0由平均值不等式故例11.已知0a1,x2+y=0，求证：解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y=-x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y=-x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y=-x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标设y=-x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3log2a+2b=2yM=3例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b例13已知函数f(x)＝|2x－1－1|,a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(A)a＜b，b＜1，c＜1(B)a＜1，b≥1，c＞1(C)2－a＜2c(D)2a＋2c＜4．【解】函数y=2x的图像右移1个单位得y=2x－1，再下移1个单位得y=2x－1－1，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方得y=|2x－1－1|，图像如下图由于在上，f(x)是减函数，所以a，b，c不能同时在上；同理，a，b，c也不能同时在上．故必有a＜1且c＞1．从而2a－1＜1，2c－1＞1∴f(a)＝1－2a－1，f(c)＝2c－1－1∵f(a)＞f(c)∴1－2a－1＞2c－1－1∴2a＋2c＜4．故选（D）．例14设mR，关于x的方程(a＞0且a≠1)有几个实根？证明你的结论．【解】设y＝ax，则y＞0，且(y+m)(y2+my+1)=0∴y=－m①或y2+my+1=0②令，则m≤－2(1)当m＜－2时，①有正实根，②有两个不等正实根．∴原方程有三个实根；(2)当m＝－2时，①有正实根，②有一个正实根．∴原方程有两个实根；(3)当－2＜m＜0时，①有正实根，②无实根．∴原方程有一个实根；(4)当m≥0时，①只有负根，而②无实根或实根为负．∴原方程无实根．综上所述，知m的值m＜－2－2－2＜m＜0m≥0方程实根个数3210例15.解方程(1)x+log2(2x-31)=5(2)2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0例16.设a0且a≠1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0(1)由Δ=4a2-40得a21,即a1令f(t)=t2-2at+1,f(a)=a2-2a2+1=1-a20下略例16.解方程：lg2x-[lgx]-2=0(其中[x]表示不大于实数x的最大整数)解：由[x]的定义知，[x]≤x，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-2≤0即-1≤lgx≤2当-1≤lgx0时，[lgx]=-1，于是原方程为lg2x=1当0≤lgx1时，[lgx]=0，原方程为lg2x=2，均不符合[lgx]=0当1≤lgx2时，[lgx]=1，原方程为lg2x=3，所以当lgx=2时，x=100所以原方程的解为解：易知：a0且a≠1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为例18.当a为何值时，不等式有且只有一解因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1所以(1)等价于u4,即x2+ax+54此不等式有无穷多解(1)当0a1时，原不等式为(1)由于当u0时，均为单调增函数，所以它们的乘积也是单增函数由f(4)=1知，(2)等价于0≤u≤4，即0≤x2+ax+5≤4从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即Δ=a2-4=0，a=2时，不等式0≤x2+ax+5≤4有唯一解x=-1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解(2)当a1时，不等式化为(2)例19.已知a0且a≠1，试求使方程有解的k的取值范围解：原方程即即又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-∞,-1)U(0,1)分别解关于的不等式、方程得：(k≠0时）所以解得k-1或0k1解：易知f(x)的定义域为(0,+∞)∵y1=3+在(0,+∞)上是减函数，y2=log2x在(0,+∞)上是增函数，而当y1=y2，即例20.设f(x)=min(3+，),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值七.函数的最值与函数的值域f(x)=log2x(2)(1)×2+(2)消去log2x，得3f(x)=6，f(x)=2又f(4)=2,故f(x)的最大值为2另解：f(x)=3+=3-(1)3+=log2x时，x=4，故当x=4时，得f(x)的最大值是2例21.求函数的最小值解：由1-3x0得，x0,所以函数的定义域为(-∞,0)令3x=t,则t∈(0,1)，于是故当x=-1时，得y的最小值-2+2log23例22已知函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)=a·f(x)+b·g(x)+2，若在(0,+∞)上F(x)有最大值8,则在(－∞,0)上F(x)有(A)最小值－8(B)最小值－4(C)最小值－6(D)最大值－8【解】设x＜0，则－x＞0，依题意F(－x)＝af(－x)+bg(－x)+2≤8∵f(x)和g(x)是奇函数∴－af(x)－bg(x)+2≤8∴a·f(x)+bg(x)≥－6∴F(x)＝af(x)+bg(x)+2≥－4．故F(x)在（－∞，0）上有最小值－4．应选（B）．例23求函数的值域．【讲解】和这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式．据这个特点可以演变出下面多种解法．【解法1】易知定义域为0≤x≤1，0≤x≤1－x2+x的值域是[0，]的值域是[0，]∴的值域是[1，]．∵≤1+x－x+1＝2∴且时，等号成立．【解法2】又由0≤x≤1知x2≤x,∴，∴且x＝1或0时等号成立．综合以上结果知，的值域是[1，]．【解法3】设，t[0，1]则整理，得2t2－2yt+y2－1=0由于该方程有非负实根，所以解之，得．当y＝1时x＝1或0，时，故两个等号皆成立，故值域为【解法4】∵且∴设，则．∵∴∴∴值域为[1，]．,10x例24已知函数,定义域为,且a＜b，求函数的最小值．【讲解】若把定义域扩大为,那么用平均值不等式知，x＝b时，y有最小值2b,而当时，,于是猜想，在上函数递减，当然在上也是减函数．于是有下面的解法1和2．∵0＜x≤a＜b∴a·x－b2＜0且x－a＜0∴．且x＝a时，等号成立．故y的最小值为．【解法1】【解法2】令0＜x1＜x2≤a＜b，则x1－x2＜0且x1·x2＜b2，f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)∴f(x1)＞f(x2)即f(x)在上是减函数，∴x＝a时，y最小且．【讲解】另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为x的一元二次方程，用根的判别式建立y的不等式，另一方面可以创造条件使用均值不等式，或配方，以构造y的不等式，另外，函数解析式变形后，可以和三角公式相联系，寻求三角代换的方法．【讲解3】函数式化为x2－yx+b2＝0依题意，该方程在上有实根，于是△=y2－4b2≥0，即y≥2b．而函数(x)＝x2－yx+b2图像的对称轴为．因此，函数(x)在上递减，故只能有一个实根，该实根存在的充要条件是(a)≤0即a2－ay+b2≤0，y≥且x＝a时，等式成立，故．∵，x＝a时等号成立，而在上是减函数,x＝a时,其值最小，故x＝a时,y有最小值，．【解法4】【解法5】由0＜x≤a＜b得且b－x≥b－a＞0∴∴当x＝a时，．【解法6】令=tan，∵0＜x≤a＜b，∴∴．且时，．即