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导数的应用一、知识要点：1.函数的单调性:⑴设函数y=f(x)在某个区间可导,若f'(x)0，则f(x)为增函数；若f'(x)0，则f(x)为减函数.一、知识要点：1.函数的单调性:⑵求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：①确定函数f(x)的定义区间;=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根;②求,令③把函数f(x)的间断点(包括f(x)的无定义的点)的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;④确定f(x)在各区间内的符号,根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间内的增减性。一、知识要点：2.可导函数的极值设函数f(x)在点x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),则称f(x0)为函数的一个极大(小)值,称x0为极大(小)值点。⑴极值的概念⑵求可导函数f(x)极值的步骤：①求导数②求方程=0的根在上述根的左右的符号,如果在根的左侧为正(负),右侧为负(正),那么函数y=f(x)在这个根处取得极大(小)值。③检验一、知识要点：3.函数的最大与最小值⑴设y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大最小值,可分两步进行:①求y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。⑵若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。二、例题选讲上是单调函数。例1(2000年全国高考题)设函数其中a0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间分析：求,当x∈时,看变化范围。例1（2000年全国高考题）设函数其中a0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。二、例题选讲例2.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。二、例题选讲二、例题选讲例4.（2000年江西卷）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。分析:实际应用问题应先建立数学模型，注意自变量的取值范围，若出现三次以上或带有根号的函数或三角函数，可考虑求导来解决。解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m则3.2–2x0,x0,得0x1.6.例4.(2000年江西卷)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。设容器体积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2–2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0x1.6)y'=-6x2+4.4x+1.6,令y'=0得x=1或x=-4/15(舍去），∴当0x1时，y'0,当1x1.6时，y'0,最大容积为1.8m3。∴在x=1处，y有最大值，此时高为1.2m,二、例题选讲例5（2003年江苏卷）已知a0,n为正整数，⑴设⑵设，对任意n≥a,证明:证明:(1)因为所以(2)对函数求导数:证明:∴即对任意例5（2003年江苏卷）已知a0,n为正整数，⑵设，对任意n≥a,证明:三、小结：1.证函数f(x)在(a,b)内单调,可以用函数的单调性定义,也可以用导数来进行判别.前者较繁，后者较易.要注意若f(x)在(a,b)内个别点上满足:=0(或不存在,但f(x)连续)，0),函数仍然在(a,b)内单调,即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点.如f(x)=x3.0(其余点满足2.函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大(小)值可有若干个，而且有时极小值可以大于它的极大值。=0可以是不必要条件。=0是可导函数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，在x0两侧的导数异号是x0为极值点的充分条件。对于连续函数(不一定处处可导)的情况三、小结：3.函数的最大值、最小值表示函数f(x)在一个区间的情况，连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和最小值。但f(x)在(a,b)上就不一定有最大(小)值。三、小结：=0的解为最值点。4.在实际应用问题中，利用导数求f(x)在(a,b)的最大值时，=0的解只有一个时，由题意最值确实存在，就是使