高中数学132杨辉三角与二项式系数的性质教案新人教版选修23

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题奎屯王新敞新疆教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：2课时奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1奎屯王新敞新疆二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和奎屯王新敞新疆2．二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，…，nnC．rnC可以看成以r为自变量的函数()fr定义域是{0,1,2,,}n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mnmnnCC）．直线2nr是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kknnnnnnknkCCkk，∴knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，当12nk时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1nrrnnnxCxCxx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1．在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和奎屯王新敞新疆证明：在展开式01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN中，令1,1ab，则0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC，即02130()()nnnnCCCC，∴0213nnnnCCCC，即在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312nnnnnCCCC.例2．已知7270127(12)xaaxaxax，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017||||||aaa.解：（1）当1x时，77(12)(12)1x，展开式右边为0127aaaa∴0127aaaa1，当0x时，01a，∴127112aaa，（2）令1x，0127aaaa1①令1x，7012345673aaaaaaaa②①②得：713572()13aaaa，∴1357aaaa7132.（3）由展开式知：1357,,,aaaa均为负，0248,,,aaaa均为正，∴由（2）中①+②得：702462()13aaaa，∴70246132aaaa，∴017||||||aaa01234567aaaaaaaa702461357()()3aaaaaaaa奎屯王新敞新疆例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数奎屯王新敞新疆解：)x1(1])x1(1)[x1(x1)x1()x1(10102）（=xxx)1()1(11，∴原式中3x实为这分子中的4x，则所求系数为711C奎屯王新敞新疆例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数奎屯王新敞新疆解：∵5552)2x()1x()2x3x(∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为x5C15，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为x80x2C415∴展开式中含x的项为x240)32(x5)x80(1，∴此展开式中x的系数为240奎屯王新敞新疆例5.已知n2)x2x(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项奎屯王新敞新疆解：依题意2n4n2n4nC14C33:14C:C∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10奎屯王新敞新疆设第r+1项为常数项，又2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT令2r02r510，.180)2(CT221012此所求常数项为180奎屯王新敞新疆例6．设231111nxxxx2012nnaaxaxax，当012254naaaa时，求n的值奎屯王新敞新疆解：令1x得：230122222nnaaaa2(21)25421n，∴2128,7nn，点评：对于101()()()nnnfxaxaaxaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值；令1,xa即1xa，可得奇数项系数和与偶数项和的关系奎屯王新敞新疆例7．求证：1231232nnnnnnCCCnCn．证（法一）倒序相加：设S12323nnnnnCCCnC①又∵S1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCC②∵rnrnnCC，∴011,,nnnnnnCCCC，由①+②得：0122nnnnnSnCCCC，∴11222nnSnn，即1231232nnnnnnCCCnCn．（法二）：左边各组合数的通项为rnrC11!(1)!!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr，∴1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCnCCCC12nn．例8．在10)32(yx的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rnC,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式yx32中的系数无关.解：设10102829110010)32(yayxayxaxayx(*),各项系数和即为1010aaa,奇数项系数和为0210aaa,偶数项系数和为9531aaaa,x的奇次项系数和为9531aaaa,x的偶次项系数和10420aaaa.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102CCC.②令1yx,各项系数和为1)1()32(1010.③奇数项的二项式系数和为910102100102CCC,偶数项的二项式系数和为99103101102CCC.④设10102829110010)32(yayxayxaxayx,令1yx,得到110210aaaa…(1),令1x,1y(或1x,1y)得101032105aaaaa…(2)(1)+(2)得10102051)(2aaa,∴奇数项的系数和为25110;(1)-(2)得1093151)(2aaa,∴偶数项的系数和为25110.⑤x的奇次项系数和为251109531aaaa;x的偶次项系数和为2511010420aaaa.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.例9．已知nxx223)(的展开式的系数和比nx)13(的展开式的系数和大992,求nxx2)12(的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222nn,解得5n.①101(2)xx的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156xxCTT.②设第1r项的系数的绝对值最大,则rrrrrrrrxCxxCT2101010101012)1()1()2(∴110110101011011010102222rrrrrrrrCCCC,得110101101022rrrrCCCC,即rrrr10)1(2211∴31138r,∴3r,故系数的绝对值最大的是第4项奎屯王新敞新疆例10．已知：223(3)nxx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项奎屯王新敞新疆解：令1x，则展开式中各项系数和为2(13)2nn，又展开式中二项式系数和为2n，∴222992nn，5n．（1）∵5n，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴223226335()(3)90TCxxx，22232233345()(3)270TCxxx，（2）设展开式中第1r项系数最大，则21045233155()(3)3rrrrrrrTCxxCx，∴1155115533792233rrrrrrrrCCrCC，∴4r，即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405TCxxx．例11．已知)(1222212211NnCCCSnnnnnnnn，求证：当n为偶数时，14nSn能被64整除奎屯王新敞新疆分析：由二项式定理的逆用化简nS，再把14nSn变形，化为含有因数64的多项式奎屯王新敞新疆∵1122122221(21)nnnnnnnnnSCCC3n，∴14nSn341nn，∵n为偶数，∴设2nk（*kN），∴14nSn2381kk(81)81kk0111888181kkkkkkCCCk011228(88)8kkkkCCC（），当k=1时，410nSn显然能被64整除，当2k时，（）式能被64整除，所以，当n为偶数时，14nSn能被64整除奎屯王新敞新疆三、课堂练习：1．4511xx展开式中4x的系数为，各项系数之和为．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)nnnnnnfxCxCxCxCx（6n）的展开式中，6x的系数为3．若二项式231(3)2nxx（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（）A.4B.5C.6D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则2(1)nx等于（）A.0B.pqC.22pqD.22pq6．