高中数学211指数与指数幂的运算教案新人教A版必修1

2.1.1指数与指数幂的运算教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法：学导式教学过程：第一课时引例：填空（1）*)nnaaaanN个（；a0=1（a)0；nnaa1)Nn,0a(*(2)mnmnaaa(m,n∈Z)；()mnmnaa(m,n∈Z)；()nnnabab(n∈Z)（3）_____9；-_____9；______0（4）)0a_____()a(2；________a2（II）讲授新课1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为mnaa可看作mnaa,所以mnmnaaa可以归入性质mnmnaaa；又因为nba)(可看作mnaa，所以nnnbaba)(可以归入性质()nnnabab(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（*Nn）的概念。（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：22=4，（-2）2=42，-2叫4的平方根23=82叫8的立方根；（-2）3=-8-2叫-8的立方根25=322叫32的5次方根…2n=a2叫a的n次方根分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根（nthroot）,其中1n，且nN。问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？nax是否正确？分析过程：例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a)a(，所以a2是a6的3次方根。结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为nax。从而有：3273，2325，236aa例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。解：因为4216，16)2(4，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：)0a(an其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。结论3：0的n次方根是0，记作nna,00即当a=0时也有意义。这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：3.n次方根的性质：（板书）*)(2,12,Nkknaknaxnn其中叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。4.根式运算性质：（板书）①aann）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求33)2(，552，443，2)3(由所得结果，可有：（板书）②为偶数为奇数；nanaann|,|,性质的推导如下：na性质①推导过程：当n为奇数时，aaaxaxnnnn)(,得由当n为偶数时，aaaxaxnnnn)(,得由综上所述，可知：aann)(性质②推导过程：当n为奇数时，由n次方根定义得：nnaa当n为偶数时，由n次方根定义得：nnaa则nnnnaaa||||综上所述：为偶数，为奇数n|a|n,a)a(nn注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。（III）例题讲解例1．求下列各式的值：3381）（－）（2102）（－）（4433）－（）（（4）2)ba(（ab）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值(1)532(2)4)3((3)2)32((4)625（IV）课时小结通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。（V）课后作业1、书面作业：a.求下列各式的值3271－）（6a)2(243）－（）（2)x31x()4(b.书P69习题2.1A组题第1题。2、预习作业：a.预习内容：课本P59—P62。b.预习提纲：（1）根式与分数指数幂有何关系？（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？第二课时1.填空（1）；_______32______,6453（2）______81______,8144；（3）；______)6(______,)3(5544(4)；_______a_____,a312510（5）_____)3(___,27755）（；（6）.______5____,)4(4466（II）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：25101052aa,a)a(；也可根据n次方根的性质来解：2552510a)a(a。问题1：观察34122510aa,aa，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？43124122510510aaa,aaa，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232aa是否可行？分析：假设幂的运算性质mnnma)a(对于分数指数幂也适用，那么2332332aa)a(，这说明32a也是2a的3次方根，而32a也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是3232aa。这说明3232aa可行。由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：板书1*,,,0(nNnmaaanmnm且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3：在上述定义中，若没有“a0”这个限制，行不行？分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331而实际上；又如：，）（）（）（341241288834434124128888）（）（。这样就产生了混乱，因此“a0”这个限制不可少。至于28)8(331，这是正确的，但此时31)8(不能理解为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62），这只表示一种上标。而323251055)2()2(,)2()2(，那是因为2210102)2(,2)2(，负号内部消化了。问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。2.负分数指数幂：板书)1*,,,0(1nNnmaaanmnm且3.0的分数指数幂：（板书）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）(0,,)rsrsaaaarsQ；()(0,,)rsrsaaarsQ()(0,0,)rrrabababrQ(4)根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用mnmnnmnaa)a(来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。（5）同样可规定是无理数）的意义：p,0p(ap①ap表示一个确定的实数；②上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略；③指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。（III）例题讲解（投影2）例2．求值：43321328116411008－－－），（），（，分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。解：。＝）＝（）＝（）；（＝＝＝）＝（）（；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（－）（－－）（－）（－－－－－）（－－－82732328116642224110110101010042228343443632323121221221232332332例3．用分数指数幂的形式表示下列各式：3232,,(0)aaaaaaa式中分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。解：1152222222211333233331131322224;;()().aaaaaaaaaaaaaaaaaa（IV）课堂练习课本P63练习：1、2、3、4（V）课时小结通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。（V）课后作业1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4.2、预习作业（1）预习内容：课本P61例题5。（2）预习提纲：a.根式的运算如何进行？b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？教学后记第三课时教学目标1.掌握根式与分数指数幂的互化；2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；3.培养学生的数学应用意识。教学重点：有理指数幂运算性质运用。教学难点：化简、求值的技巧教学方法：启发引导式教学过程（I）复习回顾1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质分数指数幂概念有理指数幂运算性质(0,,)rsrsaaaarsQ；()(0,,)rsrsaaarsQnmnmaanmnmnmaaa1＝(0,,*,1)amnNn且()(0,0,)rrrabababrQ2.用分数指数幂表示下列各式（a0,x0）52a4x16xx3)a(（II）讲授新课例1．计算下列各式（式中字母都是正数）);ba3()ba6)(ba2)(1(656131212132.)nm)(2(88341分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：①结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；③根式需化成最简根式。解：;a4ab4ba)]3()6(2[)ba3()ba6)(ba2)(1(0653121612132656131212132318843183842333(2)()()()mnmnmmnn例2．计算下列各式：);0a(aaa)1(322435)12525)(2(分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。解：例3．求值：63(1)526743642;(2)231.512分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；1222223133222