高中数学231离散型随机变量的均值教案新人教版选修23

§2．3离散型随机变量的均值与方差§2．3．1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念奎屯王新敞新疆教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望奎屯王新敞新疆授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望奎屯王新敞新疆根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有nnP02.0)4(次得4环；nnP04.0)5(次得5环；…………nnP22.0)10(次得10环．故在n次射击的总环数大约为n02.04n04.05n22.01002.04(04.05n)22.010，从而，预计n次射击的平均环数约为02.0404.0532.822.010．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(iP（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:)0(0P)1(1P…)10(10P．1.均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称E11px22px…nnpx…为ξ的均值或数学期望，简称期望．2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平奎屯王新敞新疆3.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值奎屯王新敞新疆4.均值或期望的一个性质:若ba(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为ξx1x2…xn…ηbax1bax2…baxn…Pp1p2…pn…于是E11)(pbax22)(pbax…nnpbax)(…＝11(pxa22px…nnpx…)1(pb2p…np…)＝baE，由此，我们得到了期望的一个性质:baEbaE)(5.若ξB（n,p），则Eξ=np证明如下：∵knkknknkknqpCppCkP)1()(，∴E0×nnqpC00＋1×111nnqpC＋2×222nnqpC＋…＋k×knkknqpC＋…＋n×0qpCnnn．又∵11)]!1()1[()!1()!1()!(!!knknnCknknnknknkkC，∴E(np0011nnCpq＋2111nnqpC＋…＋)1()1(111knkknqpC＋…＋)0111qpCnnnnpqpnpn1)(．故若ξ～B(n，p)，则Enp．三、讲解范例：例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望奎屯王新敞新疆解：因为3.0)0(,7.0)1(PP，所以7.03.007.01E奎屯王新敞新疆例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分奎屯王新敞新疆学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望奎屯王新敞新疆解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,，则~B（20,0.9）,)25.0,20(~B,525.020,189.020EE奎屯王新敞新疆由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5奎屯王新敞新疆所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(EEEE奎屯王新敞新疆例3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望奎屯王新敞新疆解：∵6,,2,1,6/1)(iiP，6/166/126/11E=3.5奎屯王新敞新疆例4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ123456P616161616161所以E1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．四、课堂练习：1.口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则E（）A．4；B．5；C．4.5；D．4.75奎屯王新敞新疆答案：C奎屯王新敞新疆2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ奎屯王新敞新疆公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np奎屯王新敞新疆六、布置作业：练习册七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ奎屯王新敞新疆公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。