高中数学332函数的极值与导数教案新人教A版选修11

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学3.3.2函数的极值与导数教案新人教A版选修1-1教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：创设情景观察图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()ht在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta附近函数()ht的图像，如图3.3-9．可以看出()ha；在ta，当ta时，函数()ht单调递增，()0ht；当ta时，函数()ht单调递减，()0ht；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，()0ht）后减（ta，()0ht）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()ht先正后负，且()ht连续变化，于是有()0ha．对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号奎屯王新敞新疆新课讲授一、导入新课观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点3.3-83.3-9oax1x2x34bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))oax1x2x3x4bxy)(1xf)(4xf函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大二、学生活动学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.三、数学建构极值点的定义:观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。一般地，设函数)(xfy在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x)是函数)(xfy的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数)(xfy的一个极小值。极大值与极小值统称极值。取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：(让同学讨论)（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。极值点与导数的关系:复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(xf。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由)(xf=0求得即可?探索:x=0是否是函数)(xf=x3的极值点?（展示此函数的图形）在0x处，曲线的切线是水平的,即)(xf=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，x02yoax0bxy0)(xf0)(xfoax0bxy)(0xf0)(xf0)(xfoxy也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果0x使0)(0xf，那么0x在什么情况下是的极值点呢？观察下左图所示，若0x是)(xf的极大值点，则0x两侧附近点的函数值必须小于)(0xf。因此，0x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf，0x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，同理，如下右图所示，若0x是极小值点，则在0x的左侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，在0x的右侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf，)(0xf从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）：若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值。结论：0x左右侧导数异号0x是函数f(x)的极值点)(0xf=0反过来是否成立?各是什么条件?点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.学生活动函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为(D)A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值四、数学应用例1．（课本例4）求31443fxxx的极值奎屯王新敞新疆解：因为31443fxxx，所以'24(2)(2)fxxxx。'0,2,2fxxx下面分两种情况讨论：（1）当'fx0,即2x，或2x时；3,3ba（2）当'fx0,即22x时.当x变化时，'fx，fx的变化情况如下表：x,2-2(-2,2)22,y+0－0+y↗极大值283↘极小值43↗因此，当2x时，()fx有极大值，并且极大值为28(2)3f；当2x时，()fx有极小值，并且极小值为4(2)3f。函数31443fxxx的图像如图所示。课堂训练:求下列函数的极值让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：一般地，如果函数)(xfy在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：①确定函数的定义域；②求导数)(xf；③求方程)(xf=0的根，这些根也称为可能极值点；④检查)(xf在方程)(xf＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)强调:要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号例题2（案例分析）函数223)(abxaxxxf在x=1时有极值10，则a，b的值为（C）A、或B、或xxy11）（16128223xxxy－）（11,4ba1,4ba11,4ba11,4baf(x)=13x3-4x+42-2xOyC、D、以上都不对略解:由题设条件得：解之得通过验证，都合要求，故应选择A上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件练习:庖丁解牛篇(感受高考）1、（2006年天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（A）A．1个B．2个C．3个D．4个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别2、已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数'()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x的值；（Ⅱ）,,abc的值.答案（Ⅰ）0x=1;（Ⅱ）2,9,12abc例3求y=(x2－1)3+1的极值奎屯王新敞新疆解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1奎屯王新敞新疆当x变化时，y′，y的变化情况如下表奎屯王新敞新疆x,1-1(-1,0)0(0,1)11,y－0－0+0+y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有极小值且y极小值=01-1fx=x2-13+1xOy0)1(10)1(/ff0231012baaba11433baba或abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O