高中数学人教A版选修11课件211椭圆及其标准方程课时2

2.1.1椭圆及其标准方程（2）2.1椭圆本节课是在学习了椭圆的定义之后，学习求曲线轨迹方程的常用方法。为了激发学生的学习热情，培养爱国主义情操。本课件截取了嫦娥二号卫星发射升空的视频。引出本课新话题：如何求曲线的轨迹方程。通过三个例题介绍了求曲线轨迹方程的一般方法。其中例1是利用定义法求轨迹方程；例2是运用（相关点法）代入法求轨迹方程；例3是运用直接法求轨迹方程。使学生明确椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程。以此来进一步巩固椭圆的定义及标准方程。课后留了一些习题供老师参考选用。嫦娥二号卫星于2010年10月1日成功发射升空并顺利进入地月转移轨道.你能写出嫦娥二号卫星的一个轨迹方程吗？（一）情景引入模拟动画：嫦娥二号奔月飞行1．平面内与两个定点F1，F2的__________________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__________，_____________叫做椭圆的焦距．距离的和等于常数(大于|F1F2|)焦点两焦点间距离（二）复习导入2．填表：焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点坐标a、b、c的关系c2＝____________________x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a2－b2利用定义法求轨迹方程例1.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M内切于圆C1，所以|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，所以|MC2|＝3＋r.所以|MC1|＋|MC2|＝16|C1C2|＝8，所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x264＋y248＝1.利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．1．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程．解：例2、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.运用（相关点法）代入法求轨迹方程xyODMP2.如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？224xy解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则002,,yxxy因为点P（x0,y0）在圆224xy上，所以．．.42020yx①即，4422yx.1422yx所以点M的轨迹是一个椭圆.1.从本题你能发现椭圆与圆之间的关系吗？2.x的范围有限制吗？寻找要求的点M的坐标x,y与中间变量x0,y0之间的关系,然后消去x0,y0,得到点M的轨迹的方程.-------叫代入法求轨迹(解析几何中求点的轨迹的常用方法)把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得例3如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程.49yAxMBO解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为55();AMykxx运用直接法求轨迹方程同理，直线BM的斜率55().BMykxx由已知有45559(),yyxxx化简，得点M的轨迹方程为2215100259().xyx若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，求k的取值范围．【错解】由5－k＞0，k－3＞0得3＜k＜5.【错因分析】错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中a＞b这个条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．例4.忽略椭圆标准方程的隐含条件致误【防范措施】椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程．【正解】由题意可知5－k＞0，k－3＞0，5－k≠k－3，解得3＜k＜5且k≠4.1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是()A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对【解析】|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2.【答案】B解析：连OP，MF2，则OP∥MF2,|PO|＝12|MF2|，又|PF1|＝12|MF1|，所以|PO|＋|PF1|＝12(|MF1|＋|MF2|)＝a，由题意的定义知，点P的轨迹是椭圆．故选B.2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．线段D．直线答案：B1．求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．2．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．(3)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．课后练习课后习题1．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是()A.x24＋y23＝1(x≠±2)B.y23＋x24＝1(y≠±2)C.x24＋y23＝1(y≠0)D.y24＋x23＝1(x≠0)D课后练习2.一个动圆与已知圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.【解析】由已知两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,如图所示,则由题设有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,∴|MQ1|+|MQ2|=10|Q1Q2|=6.由椭圆定义可知M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为22xy1.25161.已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且PM→＝2MP′→，求点M的轨迹．解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9.将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，即x29＋y2＝1.所以点M的轨迹是一个椭圆．课后习题2．若将第1题中“点M在PP′上，并且PM→＝2MP′→”改为“点M在直线PP′上，并且P′M→＝λP′P→(λ＞0)”，则M点的轨迹是什么？解析：当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当λ＝1时，点M的轨迹是圆；当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．3.已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()．A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线解析:如图，依题意：|PF1|＋|PF2|＝2a(a0是常数)．又∵|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案A