高中数学人教A版选修11课件232抛物线的简单几何性质课时1

2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质(1)通过动画展示抛物线的形成，利用图片直观感知抛物线在我们日常生活中的存在,培养学生善于观察的良好品质，同时激发了学生探索新知的欲望，充分调动学生学习的积极性和主动性.运用类比的思想，类比椭圆的性质和双曲线的性质学习抛物线的性质.例1是利用抛物线的几何性质求双曲线的标准方程；例2是求直线与抛物线相交的弦长问题，利用抛物线的定义和数形结合的方法帮助学生理解。利用动画展示抛物线的对称性.复习抛物线的定义1抛物线的标准方程2抛物线的图象,焦点坐标,准线方程3椭圆及双曲线的性质4图形标准方程焦点坐标准线方程220ypx(p)220xpy(p)220xpy(p)2p(0)，2p(0,)2p(0,)220ypx(p)2p(0)，2px2px2py2py类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程研究它的一些简单几何性质:抛物线的简单几何性质）（1)0(22ppxy1.范围因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2.对称性以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点．4.离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2(,)2pp|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5.通径抛物线的其它几何性质连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP6.焦半径0pPFx.2方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;(5)抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大.解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），所以，可设它的标准方程为222y2px(p0),因为点M在抛物线上，所以2(22)22,p因此,所求抛物线的标准方程是24.yx即p=2.抛物线几何性质的应用2421yxF,A,BAB.斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，求线段【例】的长l分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.1122112111AAABA(x,y),B(x,y).AFAAA.AAd,dx,AFdx.BFBBdx,如图，设由抛物线的定义可知，等于点到准线的距离设而于是同理，于是得122ABAFBFxx.12A,Bxx,AB.由此可见，只要求出点的横坐标之和就可以求出xyOFABBA''1211ABAFdx,BFdx,122ABAFBFxx.于是101F(,),AByx.(1)由已知得抛物线的焦点为所以直线的方程为1122ABA(x,y),B(x,y),A,Bld,d.如图，设到准线的距离分别为由抛物线的定义可知211012解：由题意可知，焦点准线pp,,F(,),:x.lxyOFABBA''221414yx,(x)x,将（）代入方程得2610xx.化简得126xx.利用根与系数的关系可以直接求出8AB.所以，线段的长是12322322x,x,由求根公式得1228ABxx.于是还可以如何求x1+x2?分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜2.抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。24yx4321、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为15.22168或yxxy22124yxyx或1.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线方程是.(2)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5,则p=.(3)抛物线y=2px2(p0)的对称轴为.x2=16y4y轴抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１.抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；1.范围：2.对称性：3.顶点：4.离心率：课后练习课后习题