高中数学人教A版选修11课件311变化率问题

第3章导数及应用3.1.1变化率问题变化率问题内容：函数平均变化率的概念,求函数平均变化率的一般步骤.应用求函数在某区间上的平均变化率求函数在某点附近的平均变化率本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性。在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。背景介绍微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．导数研究的问题变化率问题气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么334)(rrV343)(VVr我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)100.62rrdmL(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdmL显然0.620.16随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。343)(VVr思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10hto如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?高台跳水请计算00.52:ttv和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+1000.5(0.5)(0)4.05(/)0.502(2)(1)8.2(/)21thhvmsthhvms在这段时间里，在1这段时间里，(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.49650t计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止．平均变化率定义:若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率1212)()(xxxfxf2121()()fxfxyxxx1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘；式子中△x、△y的值可正、可负，但△x值不能为0，△y的值可以为0;因此，平均变化率可正，可负，也可为零；xxfxxf)()(111212)()(xxxfxfxy2.若函数f(x)为常函数时，△y=03.变式观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率1212)()(xxxfxfxy解：当自变量从0x变到xx0时，函数的平均变化率为xxxxxxxxfxxf02020002)()()(．当x取定值，0x取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样，可以由图看出变化．【例1】（1）求2xy在0x到xx0之间的平均变化率．(2)已知某质点按规律tts222（s：单位为m，t单位为s）做直线运动，求：①该质点在前3s内的平均速度；②该质点在前2s到3s内的平均速度．解：①由题意知3t，24)0202(3232)0()3(22sss，所以平均速度为)./(8324smts②由题意知123t，12)2222(3232)2()3(22sss，所以平均速度为)./(12112smts变式训练1（1）求在到之间的平均变化率．（2）如果函数在区间上的平均变化率为3，则__________．答案：（1）当自变量从变到时，函数的平均变化率为；（2）3．【例2】过曲线3)(xxfy上的两点)1,1(P和)1,1(yxQ作曲线的割线，求出当1.0x时割线的斜率．解：因为)1()1(fxfy，所以割线PQ的斜率为xxxxxy3)(3)(23.33)(2xx当1.0x时，设割线PQ的斜率为k，则.31.331.03)1.0(2xyk变式训练2已知曲线12xy上两点).3,2(),3,2(yxAA当1x时，割线AA斜率是_______；当1.0x时，割线AA斜率是_______．54.1【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹．这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”．2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)t(天)210问题：当自变量表示由3月18日开始计算的天数，表示气温，记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)t(天)210分析：如上图：（1）选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，℃，由此可知；（2）选择该市2004年4月18日最高气温℃与4月20日℃进行比较，℃，由此可知．变式训练3已知函数，分别计算在自变量从1变化到2和从3变化到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．答案：，；1.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+t2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.A253t2.利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx简记为一差，二比，三趋近．特别提醒①取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使Δx→0时分母不为0.②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．口诀：一差、二化、三极限1.函数的平均变化率必做题1．已知函数，分别计算在自变量从1变到2和从4变到6时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．2．已知某质点按规律(：单位为m，：单位为s)做直线运动，求：（1）该质点在前3s内的平均速度；（2）该质点在2s到3s内的平均速度．32113241选做题如图是函数的图象，求函数在区间上的平均变化率．