高中数学人教A版选修11课件313导数的几何意义

第3章导数及应用3.1.3导数的几何意义导数的几何意义内容：切线的新定义、导数的几何意义及利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程应用根据导数的定义求导数值求曲线在某点处的切线方程本课主要学习理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.通过多媒体课件的直观演示，引导学生通过观察，思考，发现并归纳导数的几何意义．通过对例题和练习题的探究完成知识的迁移．并通过设置思考题为学生进一步探讨导数的应用指出方向．重点是理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，体会数形结合、以直代曲的思想．难点是发现、理解及应用导数的几何意义；对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解；运用导数的几何意义解释函数变化的情况．针对上述内容给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用导数的几何意义的重要性。通过设置难易不同的必做和选做作业题，对不同的学生进行因材施教。1.平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为)(xf],[21xx1212)()(xxxfxfxy割线的斜率1212)()(xxxfxfxykOABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y2.导数的概念00000()()()limlimxxfxxfxffxxx)(xfy0xx3.求函数在处的导数的步骤（1）求平均变化率（2）取极限提出问题导数的几何意义P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx21.3图1234=54800cd9956ed1ed6016a1c2动画演示02:50-03:40yxo)(xfyP相交PPnoxyy=f(x)割线切线T曲线在点P处切线的定义当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy00＝即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，思考函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:导数的几何意义问题：从求函数)(xf在0xx处的导数的过程来看，当0xx时，0()fx是不是一个确定的数？导函数的定义当0xx时，0()fx是一个确定的数．因此，当x变化时，()fx便是x的一个函数，我们称它为)(xf的导函数（简称导数）．记作：()fx或y，即：0()()()limxfxxfxfxyx．注：函数)(xf在0x处的导数0()fx就是函数)(xf的导（函）数()fx在0x处的函数值．0l1l2lthO0t1t2t31.3图012,,,.httttht我们用曲线在处的切线刻画曲线在上述三个时刻附近的变解化情况:.,,.,10000几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当ttxltthtt.,,.0`,2111111附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt.,,.0`,3222222单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt.,,31.32121附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图ttthll0l1l2lthO0t1t2t31.3图根据导数的几何意义:当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减．【例2】设2()fxx，求()fx，(1)f，(2)f的值．分析：先根据导数的定义求()fx，再将自变量的值代入求得导数值．解：由导数的定义知：02200()()()lim()limlim(2)2xxxfxxfxfxxxxxxxxx1(1)()|2(1)2xffx，2(2)()|224xffx．变式训练1（1）已知yx，求y．（2）求函数23yx在点(1,3)处的导数.答案：（1）12x；（2）6．【例3】求曲线2yx在点(2,4)A处的切线方程．分析：本题关键是求切线斜率，(2)kf，有两种思路：一是直接求0(2)(2)(2)limxfxfkfx；二是先求0()()()limxfxxfxfxx，再令2x求得(2)kf．解：2200()limlim2xxyxxxyxxx．所以，斜率为2(2)|224xkfy．故点(2,4)A处切线方程为：44(2)yx，即440xy．变式训练2求过点(3,5)P且与曲线2yx相切的直线方程．[错解]2200()limlim2xxyxxxyxxx．所以，斜率为3(3)|236xkfy．故过点(3,5)P切线方程为：56(3)yx即6130xy．[错因]求曲线在点P处的切线与求过点P的切线有区别．在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点．应注意概念的区别，其求法也有所不同．[正解]法一：2200()limlim2xxyxxxyxxx.设所求切线的切点为00(,)Axy．点A在曲线2yx上，200yx．又A是切点，过点A的切线的斜率00|2xxyx．所求切线方程为20002()yxxxx，将点(3,5)P代入切线方程得015x或．切点坐标为(1,1)或(5,25)，当切点为(1,1)时，切线的斜率为1022kx；当切点为(5,25)时，切线的斜率为20210kx.∴所求的切线有两条，方程为12(1)yx或2510(5)yx，即210xy或10250xy．法二：2200()limlim2xxyxxxyxxx.设所求切线的切点为00(,)Axy．点A在曲线2yx上，200yx．又A是切点，过点A的切线的斜率00|2xxyx．所求的切线过(3,5)P和00(,)Axy两点，其斜率又为200005533yxxx，2000523xxx，解得01x或05x.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．余下的同上．法三：由于点(3,5)P在曲线2yx的下方，所以过点(3,5)P的切线方程有两条．设所求切线方程为5(3)ykx，即53ykxk．联立253,,ykxkyx得2350xkxk．224(35)12200kkkk，即210k或．所求切线方程为210xy或10250xy．1．知识：（1）切线的定义：当点00(,())nPxxfxx沿着曲线()fx逼近点00(,())Pxfx时，即0x，割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线．（2）函数()fx在0xx处的导数0()fx的几何意义就是函数()fx的图象在0xx处的切线的斜率．（3）求曲线在某点处的切线方程的方法，正确区别“在某点的切线方程”与“过某点的切线方程”．（4）求函数()yfx的导函数的方法，正确区别“0()fx”与“()fx”．2．思想：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法.必做题1．求曲线221yx在点(1,3)P处的切线方程．2．已知抛物线221yx，求（1）抛物线上哪一点的切线平行于直线420xy；（2）抛物线上哪一点的切线垂直于直线830xy．3．若函数22yxax与24yx相切，求a的值．选做题1．已知曲线227yx，求曲线过点(39)P，的切线方程．2．设函数32()91(0)fxxaxxa，若曲线()yfx的斜率最小的切线与直线1260xy平行，求a的值．谢谢欣赏！