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第1课时奇偶性的概念第一章1.3.2奇偶性1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称.一般地，图象关于y轴对称的函数称为函数，图象关于原点对称的函数称为函数.偶奇知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案答案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.答案(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上.任意f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)任意函数奇偶性的概念：知识点三奇(偶)函数的定义域特征思考如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案答案由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.返回答案一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于对称.原点题型探究重点难点个个击破类型一如何证明函数的奇偶性证明因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，例1(1)证明f(x)＝x3－x2x－1既非奇函数又非偶函数；解析答案故f(x)＝x3－x2x－1既非奇函数又非偶函数.解析答案(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；证明函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数.解析答案即该函数既是奇函数又是偶函数.(3)证明f(x)＝1－x2＋x2－1既是奇函数又是偶函数；证明定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝1－x2＋x2－1为偶函数.又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝1－x2＋x2－1为奇函数.解析答案证明定义域为{x|x≠0}.若x0，则－x0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1，∴f(－x)＝－f(x)；若x0，则－x0，∴f(－x)＝－1，f(x)＝1，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.(4)证明f(x)＝－1，x0，1，x0是奇函数；解析答案(5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数.证明∵f(x)的定义域为R，∴g(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域也为R.对于任意x∈R，都有g(－x)＝f[－(－x)]＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴g(x)是偶函数.反思与感悟解析答案跟踪训练1(1)证明f(x)＝(x－2)2＋x2－x既非奇函数又非偶函数；证明由2＋x2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.解析答案(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数；证明函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数.解析答案因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，(3)证明f(x)＝a－x2＋x2－a(a≥0)既是奇函数又是偶函数；证明定义域为{－a，a}，故函数f(x)＝a－x2＋x2－a为偶函数.又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝a－x2＋x2－a为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.解析答案证明定义域为{x|x≠0}.若x0，则－x0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x0，则－x0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.(4)证明f(x)＝－x2，x0，x2，x0是奇函数.类型二如何判断函数的奇偶性例2(1)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；解析答案解∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数.f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数.f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数.解析答案(2)判断f(x)＝x3＋3x的奇偶性；解∵y＝x3，y＝3x都是奇函数，由(1)知f(x)＝x3＋3x是奇函数.(3)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，求实数b，d的值.解由(1)知当b＝d＝0时，f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数.反思与感悟解析答案跟踪训练2(1)f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，试判断y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；解∵f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是奇函数.f[g(－x)]＝f[g(x)]，y＝f[g(x)]是偶函数.解析答案(2)判断f(x)＝x2＋1x的奇偶性；解∵y＝x2＋1是偶函数，y＝x是奇函数，由(1)知f(x)＝x2＋1x是奇函数.解析答案(3)已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，求F(x)在(－∞，0)上的最小值.解∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函数.设x0，则－x0.由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，∴af(－x)＋bg(－x)≤3，∴af(x)＋bg(x)≥－3，∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.即F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.类型三奇(偶)函数图象的对称性的应用例3定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；解析答案解先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，解析答案(2)解不等式xf(x)0.解xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)0的解集是(－2,0)∪(0,2).反思与感悟解析答案跟踪训练3已知f(x)＝xx2＋1在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减.试画出f(x)的图象，并指出其单调区间.返回123达标检测45答案1.函数f(x)＝0(x∈R)是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数D123452.函数f(x)＝1x的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案A123453.函数f(x)＝x(－1x≤1)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案C123454.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A.4B.3C.2D.1答案B123455.下列说法错误的个数是()①图象关于原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交；⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R).A.4B.3C.2D.0答案B规律与方法1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.返回