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第2课时函数的最大(小)值第一章1.3.1单调性与最大(小)值1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会借助单调性求最值；3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一函数的最大(小)值思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？为什么不是最小值？答案答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如右：答案试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.答案x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点.一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.返回题型探究重点难点个个击破类型一借助单调性求最值例1已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值.解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练1已知函数f(x)＝xx2＋1(x0)，求函数的最大值和最小值.类型二求二次函数的最值例2(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；解析答案解∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2).∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.解析答案(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；解析答案由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值.(3)已知函数f(x)＝x－2x－3，求函数f(x)的最值；解设x＝t(t≥0)，则x－2x－3＝t2－2t－3.解析答案(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m)反思与感悟解析答案跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；解设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值.(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；∴f(x)min＝6－4a，a2，2－a2，2≤a≤4，18－8a，a4.解∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.解析答案解析答案(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋54，x∈[0，52].求水流喷出的高度h的最大值是多少？类型三函数最值的应用例3已知ax2－x＋a0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练3已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围.解∵x0，∴ax2＋x≤1可化为a≤1x2－1x.要使a≤1x2－1x对任意x∈(0,1]恒成立，只需a≤(1x2－1x)min.设t＝1x，∵x∈(0,1]，∴t≥1.1x2－1x＝t2－t＝(t－12)2－14.当t＝1时，(t2－t)min＝0，即x＝1时，(1x2－1x)min＝0，∴a≤0.返回123达标检测45答案1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是()A.f(－2)，0B.0,2C.f(－2)，2D.f(2)，2C123452.函数y＝－x＋1在区间[12，2]上的最大值是()答案A.－12B.－1C.12D.3C123453.函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上()A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值答案A123454.函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分别为()A.4,1B.4,0C.1,0D.以上都不对答案B123455.函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]，x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值，最小值分别为()A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对答案A规律与方法(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.返回2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.