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3.2.1几类不同增长的函数模型第三章3.2函数的模型及其应用1.尝试将实际问题转化为函数模型；2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异；3.体会直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型.函数模型通常用来解释已有数据和预测.一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.知识点二三种常见函数模型比较三种函数模型的性质，填写下表.答案函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性图象的变化随x的增大逐渐变“”随x的增大逐渐趋于随n值而不同增长速度ax的增长xn的增长，xn的增长logax的增长增长后果总存在一个x0，当xx0时，就会有增函数增函数增函数陡稳定快于快于axxnlogax返回题型探究重点难点个个击破类型一建立函数模型解决实际问题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练1某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86万元.故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，更有利.类型二需选择函数模型的实际问题例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练2一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.类型三幂函数、指数函数、对数函数增长的差异例3观察下面表中的数据，你对函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长差异有什么认识？解析答案x012345678…y＝2x1248163264128256…y＝x201491625364964…y＝log2x011.622.32.62.83…解尽管在x的某一范围内，有2xx2的情况，但y＝2x比y＝x2增长的快，当x4时，2xx2log2x.反思与感悟跟踪训练3函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.解析答案(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；解当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.解析答案返回(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2013)，g(2013)的大小.解∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10.∴x1＜6＜x2,2013＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6).当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2013)＞g(2013).又g(2013)＞g(6)，∴f(2013)＞g(2013)＞g(6)＞f(6).123达标检测4答案1.下列函数中随x的增长而增长最快的是()A.y＝exB.y＝lnxC.y＝x100D.y＝2xA12342.能使不等式log2xx22x一定成立的x的取值区间是()A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(4，＋∞)答案D12343.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为()A.8℃B.78℃C.112℃D.18℃答案B12344.细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长.若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：答案x(h)0123细菌数30060012002400据此表可推测实验开始前2h的细菌数为()A.75B.100C.150D.200A规律与方法1.函数应用题的类型函数应用题主要有：(1)函数类型已知的问题；(2)函数类型未知的问题；(3)利用函数拟合法得到函数模型的问题.2.解决实际问题的流程返回3.在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)、y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，logax＜xn＜ax.