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3.1.1方程的根与函数的零点第三章3.1函数与方程1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系；2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的.方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x).f(x)＝0零点有实数根与x轴有交点有零点知识点二零点存在定理思考函数零点有时是不易求或求不出来的.如f(x)＝lgx＋x.但函数值易求，如我们可以求出f(110)＝lg110＋110＝－1＋110＝－910，f(1)＝lg1＋1＝1.那么能判断f(x)＝lgx＋x在区间110，1内有零点吗？答案答案能.因为f(x)＝lgx＋x是连续的，函数值从－910变化到1，势必在110，1内某点处的函数值为0.答案一般地，有函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.连续不断f(a)·f(b)0有零点f(c)＝0返回题型探究重点难点个个击破类型一求函数的零点例1函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为____________.解析答案解析由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.x＝1或x＝10反思与感悟解析答案跟踪训练1函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________.解析f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).可知零点为±1，－2,3，共4个.4类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()解析答案x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－10，f(0)＝1－20，f(1)＝2.72－30，f(2)＝7.40－4＝3.400.由于f(1)·f(2)0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.C反思与感悟解析答案跟踪训练2若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析∵函数f(x)＝3x－7＋lnx在定义域上是增函数，∴函数f(x)＝3x－7＋lnx在区间(n，n＋1)上只有一个零点.∵f(1)＝3－7＋ln1＝－40，f(2)＝6－7＋ln20，f(3)＝9－7＋ln30，∴函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.2类型三判断函数零点个数例3求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练3求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数.解方法一由于f(2)0，f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二通过作出函数y＝lnx，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数转化为函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图象交点的个数.返回123达标检测45答案1.函数y＝x的零点是()A.(0,0)B.x＝0C.x＝1D.不存在B123452.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案C123453.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)0，f(1)0，f(2)0，则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案C123454.下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案D123455.函数f(x)＝x3－(12)x的零点个数是()A.0个B.1个C.2个D.无数个答案B规律与方法1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.返回3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.