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2.1.2指数函数及其性质(一)第二章2.1指数函数1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；2.掌握指数函数图象的性质；3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一指数函数思考1细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？答案答案y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来.一般地，叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.函数y＝ax(a0，且a≠1)思考2指数函数定义中为什么规定了a0且a≠1?答案原因如下：(1)如果a0，比如y＝(－4)x，这时对于x＝14，x＝12等，在实数范围内函数值不存在；答案(2)如果a＝0，当x0时，ax恒等于0，当x≤0时，ax无意义.(3)如果a＝1，y＝1x＝1，是个常数函数，没有研究的必要.知识点二指数函数的图象和性质思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？答案答案函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般.指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质：a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)答案性质过定点过点，即x＝时，y＝函数值的变化当x0时，；当x0时，当x0时，；当x0时，________单调性是R上的是R上的_______(0,1)01y10y10y1y1增函数减函数返回题型探究重点难点个个击破类型一求指数函数的解析式例1已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式.解析答案解设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得：a＝，于是f(x)＝.13π3πx反思与感悟解析答案跟踪训练1已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值.解由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.需02a1，即0a12.类型二指数函数图象的应用例2直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，求实数a的取值范围.解y＝|2x－1|＝1－2x，x02x－1，x≥0，图象如右：由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练2函数y＝a|x|(a1)的图象是()解析函数y＝a|x|是偶函数，当x0时，y＝ax.由已知a1，故选B.B类型三求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域例3求下列函数的定义域、值域.(1)y＝3x1＋3x；解析答案解函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1).∵y＝1＋3x－11＋3x＝1－11＋3x，又∵3x0,1＋3x1，∴011＋3x1，∴－1－11＋3x0，∴01－11＋3x1，∴值域为(0,1).解析答案(2)y＝4x－2x＋1.＝(2x－12)2＋34，解定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1∵2x0，∴2x＝12，即x＝－1时，y取最小值34，同时y可以取一切大于34的实数，∴值域为[34，＋∞).反思与感悟解析答案跟踪训练3求下列函数的定义域、值域：由1x－1≠0得y≠1，1110.3xy＝；解由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}.所以函数值域为{y|y0且y≠1}.解析答案返回解由5x－1≥0得x≥15，5123.xy＝所以函数定义域为{x|x≥15}.由5x－1≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}.123达标检测45答案1.下列各函数中，是指数函数的是()A.y＝(－3)xB.y＝－3xC.y＝3x－1D.y＝(13)xD123452.若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A.a0，且a≠1B.a≥0，且a≠1C.a12，且a≠1D.a≥12答案C123453.曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx和y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()答案A.ab1cdB.ab1dcC.ba1cdD.ba1dcD123454.已知3x＝10，则这样的x()A.存在且只有一个B.存在且不只一个C.存在且x2D.根本不存在答案A123455.若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝2x，x∈R}，则下列结论错误的是()A.A∩B＝AB.A∩B＝∅C.A∪B＝RD.A∪B＝B答案B规律与方法1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2.指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.3.由于指数函数y＝ax(a0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.返回4.求函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.