高中数学人教版A版必修一配套课件第二章基本初等函数第二章23

2.3幂函数第二章基本初等函数(Ⅰ)1.理解幂函数的概念；2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法；3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一幂函数的概念答案底数为x，指数为常数.思考y＝1x，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？答案一般地，叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.函数y＝xα知识点二幂函数的图象与性质思考如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象.122yx＝；答案填写下表：y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域值域奇偶性单调性增在[0，＋∞)上，在(－∞，0]上在(0，＋∞)上，在(－∞，0)上____12yx＝；RRR[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞)RR[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增减增增减减根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点；(2)α0时，幂函数的图象通过，并且在区间[0，＋∞)上是函数.特别地，当α1时，幂函数的图象；当0α1时，幂函数的图象；(3)时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；(5)在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从到的顺序排列.答案(1,1)原点增下凸上凸α0小大返回题型探究重点难点个个击破类型一幂函数的概念例1已知是幂函数，求m，n的值.解由题意得m2＋2m－2＝1，m2－1≠0，2n－3＝0，解析答案221(22)23mymmxn－＝＋－＋－解得m＝－3，n＝32，所以m＝－3，n＝32.反思与感悟解析答案A.0B.1C.2D.3跟踪训练1在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()解析∵y＝1x2＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y＝1不是幂函数.B类型二幂函数的图象及应用例2若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x).解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练2幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于()A.1B.2C.3D.无法确定解析由条件知，M(13，23)、N(23，13)，∴13＝(23)α，23＝(13)β，∴(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝13，∴αβ＝1.故选A.A类型三幂函数性质的综合应用例3(1)探讨函数的单调性.则f(x2)－f(x1)＝＝1x2－1x1解析答案12fxx＝解的定义域为(0，＋∞).12fxx＝任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，112221xx＝x1－x2x1x2＝x1－x2x1x2·x1＋x2.因为x2x10，所以x1－x20，且x1x2·(x1＋x2)0，于是f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以在区间(0，＋∞)内是减函数.12fxx＝解析答案(2)若则a的取值范围是________.所以等价于a＋10，3－2a0，a＋13－2a，1122(1)(32)aa＋－，解析由(1)知在区间(0，＋∞)内是减函数.12fxx＝1122(1)(32)aa＋－解得23a32.所以a的取值范围是(23，32).(23，32)反思与感悟解析答案跟踪训练3已知幂函数(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝2kx，21*()mmfxxmN＝．解∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数.解析答案返回解(2)若函数还经过(2，2)，试确定m的值，并求满足f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围.2112222mm＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，12fxx＝，由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数.∴f(2－a)f(a－1)等价于2－aa－1≥0，解得1≤a32.123达标检测45解析答案1.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于()A.12B.1C.32D.2解析由幂函数的定义知k＝1.又f12＝22，所以12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32.C123452.已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值等于()A.16B.116C.2D.12答案D12345A.1,3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,33.设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为()答案A123454.下列是的图象的是()答案23yx＝B123455.以下结论正确的是()A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限答案D规律与方法1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.返回3.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.