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1.4.3含有一个量词的命题的否定第一章§1.4全称量词与存在量词1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：.知识点二特称命题的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：.知识点三全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是命题.特称命题的否定是命题.答案∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称思考(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？答案不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对省略量词的命题怎样否定？答案对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.答案返回题型探究重点突破解析答案题型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；解其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；解其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；解其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.(4)可以被5整除的整数，末位是0.解其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟解析答案跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；解綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)p：所有自然数的平方都是正数；解綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；解綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解綈p：存在实数x0，使得x20＋10.解析答案题型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：∃x01，使x20－2x0－3＝0；解綈p：∀x1，x2－2x－3≠0.(假).(2)p：有些素数是奇数；解綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3)p：有些平行四边形不是矩形.解綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).反思与感悟解析答案跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；解命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)某些平行四边形是菱形；解命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.解命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.解析答案题型三特称命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；解不等式m＋f(x)0可化为m－f(x)，即m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m－4即可.故存在实数m，使不等式m＋f(x)0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m－4.解析答案反思与感悟(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)0成立，求实数m的取值范围.解不等式m－f(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).解析答案跟踪训练3已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；证明当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.解析答案(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.解∵f(x)≤4x恒成立，∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，∴a0，Δ≤0，即a0，4＋12a≤0，解得a≤－13，即实数a的取值范围是(－∞，－13].解析答案易错点含有一个量词的命题的否定返回解后反思例4写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)正方形都是菱形；(2)∃x0∈R，x20－4x0－3＞0.分析(1)是省略了全称量词的全称命题，其否定是特称命题.(2)是特称命题，其否定是全称命题.解(1)有的正方形不是菱形.假命题.(2)∀x∈R，x2－4x－3≤0恒成立.假命题.解后反思含有一个量词的命题在否定时，往往只改变前面的量词，而将后面的否定忽略，这种错误应当避免.当堂检测12345解析答案1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是()A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.C解析答案123452.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.綈p：∀x∈A,2x∈BB.綈p：∀x∉A,2x∉BC.綈p：∃x∉A,2x∈BD.綈p：∃x∈A,2x∉B解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.D12345解析答案3.对下列命题的否定说法错误的是()A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D.p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n100.解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.C解析答案123454.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x0B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x00D.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0解析全称命题的否定是特称命题.全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x00.C解析答案123455.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_______________________.解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.有的向量与零向量不共线课堂小结返回1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.