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2.1.1椭圆及其标准方程第二章§2.1椭圆1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的的点的轨迹叫做.这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的.知识点二椭圆的标准方程答案焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点___________________________a、b、c的关系____________________x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)c2＝a2－b2c2＝a2－b2距离之和等于常数(大于|F1F2|)椭圆焦点焦距思考(1)椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？答案当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案a，b的值及焦点所在的位置.答案返回题型探究重点突破解析答案题型一用待定系数法求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；解因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0).因为2a＝10，所以a＝5.又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.解析答案(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，故所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.反思与感悟解析答案跟踪训练1求焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点的椭圆的标准方程.解析答案题型二椭圆定义的应用例2已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.(1)求点P的轨迹方程；解依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝42＝|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝3，故所求点P的轨迹方程为x24＋y23＝1.解析答案(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.解设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos120°)，解得mn＝12.＝12mnsin∠F1PF2＝12×12sin120°＝33.反思与感悟12PFFS解析答案跟踪训练2如图所示，已知过椭圆x225＋y216＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.求△AF1B的周长.解如题图所示，由题意知，点A，B在椭圆x225＋y216＝1上，所以a＝5，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝20.解析答案题型三与椭圆有关的轨迹问题例3已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.反思与感悟解析答案跟踪训练3已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6).∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.思想方法分类讨论思想的应用例4设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点.P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1||PF2|的值.解析答案返回解后反思当堂检测12345解析答案1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段.D解析答案123452.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A.1B.2C.3D.4B解析由题意得，椭圆标准方程为x2＋y24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k＝2.123453.设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3.而|F1F2|＝4，所以|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，所以△PF1F2是直角三角形，故选B.B解析答案解析答案123454.“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析方程可化为x21m＋y21n＝1.若mn0，则01m1n，可得方程为焦点在y轴上的椭圆.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则1n1m0，可得mn0.C解析答案123455.已知椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.解析依题意知，a＝7，b＝26，c＝49－24＝5，|F1F2|＝2c＝10.由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100.解得|PF1|·|PF2|＝48.48课堂小结返回1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在.2.求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法.3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.