高中数学人教版选修11配套课件第2章圆锥曲线与方程212二

2.1.2椭圆的简单几何性质(二)第二章§2.1椭圆1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.答案直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1.知识点二直线与椭圆的位置关系消去y得到一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交___解Δ__0相切___解Δ__0相离___解Δ__0两一无＝知识点三弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22，∴|AB|＝x1－x22＋kx1－kx22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2x1＋x22－4x1x2，或|AB|＝1ky1－1ky22＋y1－y22＝1＋1k2y1－y22＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得.返回题型探究重点突破解析答案题型一直线与椭圆的位置关系例1在椭圆＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.x24＋y27解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝32x＋m，代入x24＋y27＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝32x＋4和y＝32x－4，显然y＝32x－4距l最近，d＝|16－8|32＋－22＝813＝81313，切点为P32，－74.反思与感悟解析答案跟踪训练1已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.解设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，联立方程x2＋8y2＝8，x－y＋a＝0，得9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，最小距离为d＝|4－3|2＝22.解得a＝3或a＝－3，由x2＋8y2＝8，x－y＋3＝0，得x＝－83，y＝13，即P(－83，13).解析答案题型二直线与椭圆的相交弦问题例2已知点P(4,2)是直线l被椭圆＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程.解由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.x236＋y29所以x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，所以k＝－12.所以直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.反思与感悟解析答案跟踪训练2设F1，F2分别是椭圆E：＝1(ab0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；解由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.x2a2＋y2b2解析答案(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率.解设|F1B|＝k，则k0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.解析答案题型三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；解由4x2＋y2＝1，y＝x＋m得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－52≤m≤52.解析答案(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－2m5，x1x2＝15(m2－1)，所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝24m225－45m2－1＝2510－8m2.∴当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.反思与感悟解析答案跟踪训练3如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，AB→·AP→＝9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.解析答案返回解后反思一题多解求解椭圆中弦所在的直线方程例4已知椭圆x216＋y24＝1，过点P(2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程.当堂检测12345解析答案1.直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.m1B.m1且m≠3C.m3D.m0且m≠3x2m＋y23解析由y＝x＋2，x2m＋y23＝1⇒(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∵Δ0，∴m1或m0.又∵m0且m≠3，∴m1且m≠3.B解析答案123452.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m0)，则此椭圆的离心率为()A.13B.33C.22D.12解析将方程化为标准形式x2m2＋y2m3＝1，因为m0，所以a2＝m2，b2＝m3，所以c2＝a2－b2＝m2－m3＝m6，所以e＝ca＝m6m2＝13＝33.B12345解析答案3.椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1－y2|的值为()A.53B.103C.203D.53解析易知△ABF2的内切圆的半径r＝12，可得△ABF2的面积S＝12lr＝12×2c×|y1－y2|，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝53.A解析答案123454.椭圆x2＋4y2＝36的弦被点A(4,2)平分，则此弦所在的直线方程为()A.x－2y＝0B.x＋2y－4＝0C.2x＋3y－14＝0D.x＋2y－8＝0解析设以点A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于点E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵点A(4,2)为EF中点，把E(x1，y1)，F(x2，y2)分别代入椭圆x2＋4y2＝36中，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，得x21＋4y21＝36，①x22＋4y22＝36，②则①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴k＝y1－y2x1－x2＝－12，∴8(x1－x2)＋16(y1－y2)＝0，∴以点A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y－2＝－12(x－4)，整理得，x＋2y－8＝0.D解析答案123455.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.解析设点M(x，y)，∵MF1→·MF2→＝0，∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.由题意知，椭圆上的点P总在圆外，∴|OP|c恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，∴bc，∴a22c2，∴(ca)212，∴0e22.0e22课堂小结返回解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解.