高中数学人教版选修11配套课件第2章圆锥曲线与方程232

2.3.2抛物线的简单几何性质第二章§2.3抛物线1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一抛物线的几何性质答案标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形性质范围____，y∈R____，y∈Rx∈R，____x∈R，____对称轴x轴x轴y轴y轴顶点____离心率____x≥0x≤0y≥0y≤0(0,0)e＝1知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程______的解的个数.当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴，此时直线与抛物线有个公共点.p2p2x1＋x2＋pk2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0两一没有平行或重合一答案返回题型探究重点突破解析答案题型一抛物线的几何性质例1已知双曲线方程是＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.x28－y29解因为双曲线x28－y29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝82x，其准线方程为x＝－22.反思与感悟解析答案跟踪训练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解(1)当抛物线的焦点在x轴上时，将点M(1，－2)代入，得m＝4.(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0).∴抛物线的标准方程为y2＝4x.设其标准方程为x2＝ny(n≠0).将点M(1，－2)代入，得n＝－12.∴抛物线的标准方程为x2＝－12y.故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－12y.准线方程为x＝－1或y＝18.解析答案题型二抛物线的焦点弦问题例2已知抛物线方程为y2＝2px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程.反思与感悟解析答案跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；解因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，又F32，0.所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.所以|AB|＝5＋3＝8.解析答案(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离等于3＋32＝92.解析答案题型三直线与抛物线的位置关系例3已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.反思与感悟解析答案跟踪训练3如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.解析答案返回解后反思例4已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为，求抛物线的标准方程.思想方法分类讨论思想的应用15当堂检测12345解析答案1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A.y2＝8xB.y2＝－8xC.y2＝8x或y2＝－8xD.x2＝8y或x2＝－8y解析设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p0)，依题意得x＝p2，代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.C解析答案2.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.(14，±24)B.(18，±24)C.(14，24)D.(18，24)解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F(14，0)，所以点P的横坐标为18，代入抛物线方程得y＝±24，故点P的坐标为(18，±24)，故选B.12345B123453.抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为()解析答案A.(1,2)B.(0,0)C.(12，1)D.(1,4)解析因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.则y＝4x2，y＝4x＋m，⇒4x2－4x－m＝0.①设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0，即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.将m＝－1代入①式，x＝12，y＝1，故所求点的坐标为(12，1).C解析答案123454.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A.6x－4y－3＝0B.3x－2y－3＝0C.2x＋3y－2＝0D.2x＋3y－1＝0解析设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y2＝2x的焦点F(12，0)，所以3×12－2×0＋c＝0，所以c＝－32，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.选A.A解析答案123455.已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝____.解析由x－y＋1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x－1＝0，∵直线与抛物线相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.∴a＝－14.－14课堂小结1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果.(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0).相交：①有两个交点：A≠0，Δ0；②有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；返回相切：有一个公共点，即A≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即A≠0，Δ0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.