高中数学人教版选修11配套课件第3章导数及其应用333

3.3.3函数的最大(小)值与导数第三章§3.3导数在研究函数中的应用1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得.知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的.(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是.答案端点极值点极值端点处最大值最小值知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.返回题型探究重点突破解析答案题型一求函数在闭区间上的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.即f(x)的最大值为35，最小值为－37.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.解析答案反思与感悟(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f′(x)在[－1,1]上为增函数.故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.解析答案跟踪训练1求下列函数的最值：(1)f(x)＝12x＋sinx，x∈[0,2π]；解f′(x)＝12＋cosx，x∈[0,2π].令f′(x)＝0，得x＝2π3或x＝4π3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x00，2π32π32π3，4π34π34π3，2π2πf′(x)＋0－0＋f(x)0单调递增↗π3＋32单调递减↘2π3－32单调递增↗π所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；即f(x)的最小值为0，最大值为π.当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.解析答案(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.解f′(x)＝1ex′－(ex)′＝－1ex－ex＝－1＋e2xex.当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数.故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.解析答案题型二含参数的函数的最值问题例2已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；解f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3).令f′(x)＜0，得x＜－1或x＞3，故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞).解析答案(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，所以f(2)＞f(－2)，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，所以f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5，所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.所以f(－1)＝－2－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.反思与感悟f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，因为在(－1,3)上f′(x)＞0，解析答案跟踪训练2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值.解析答案题型三函数最值的应用例3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).(1)求f(x)的最小值h(t)；解∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.解析答案(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)单调递增1－m单调递减∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，也就是g(t)0对t∈(0,2)恒成立，故实数m的取值范围是(1，＋∞).h(t)－2t－m对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m0，∴m1.反思与感悟解析答案跟踪训练3已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数，若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围.解由题意，知f(1)＝－3－c.因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.所以对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·1x－12x3＝x3(4alnx＋a－12).由题意，知f′(1)＝0，即a－12＝0，得a＝12.所以f′(x)＝48x3lnx(x＞0)，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；当x＞1时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数.所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，所以要使f(x)≥－2c2(x＞0)恒成立，令f′(x)＝0，得x＝1.并且此极小值也是最小值.只需－3－c≥－2c2即可.整理，得2c2－c－3≥0，解得c≥32或c≤－1.所以c的取值范围是(－∞，－1]∪32，＋∞.解析答案返回解后反思思想方法分类讨论思想的应用例4设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g1x的大小关系；(3)求a的取值范围，使g(a)－g(x)＜1a对任意x＞0成立.当堂检测12345解析答案1.函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是()A.f(2)，f(3)B.f(3)，f(5)C.f(2)，f(5)D.f(5)，f(3)解析∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).B解析答案123452.函数f(x)＝x3－3x(|x|1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.D12345解析答案3.函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1解析因为y′＝1－cosx，当x∈π2，π时，y′0，则函数在区间π2，π上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.C解析答案123454.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.－71解析答案123455.已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，若f′(－1)＝0，函数f(x)在[－2,2]上的最大值为___，最小值为_____.解析由原式，得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4.由f′(－1)＝0，得a＝12，此时f(x)＝x3－12x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝43.因为f(－1)＝92，f43＝－5027，f(－2)＝f(2)＝0，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.95－5027课堂小结返回1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值.开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.