高中数学人教版选修12同课异构教学课件211合情推理探究导学课型

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理主题一：归纳推理【自主认知】1.在以前的数学学习中，我们知道三角形的内角和是180°，那么凸四边形的内角和是多少呢？凸五边形的内角和呢？提示：凸四边形的内角和是360°=2×180°，凸五边形的内角和是540°=3×180°.2.你能归纳出凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是多少吗？提示：凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是(n-2)·180°.3.阅读下面的材料，考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点？(1)成语“一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.(2)谚语“瑞雪兆丰年”.(3)物理学中牛顿发现万有引力.(4)化学中的门捷列夫元素周期表.提示：它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化，由个别推知一般.➡根据以上探究过程，试着写出归纳推理的定义：(1)定义：由某类事物的_____对象具有某些特征，推出该类事物的_____对象都具有这些特征的推理，或者由_________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳).(2)简述：归纳推理是由_____到_____、由_____到_____的推理.部分全部个别事实一般结论部分整体个别一般【合作探究】1.归纳推理的前提和结论是什么？提示：归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是关于该类事物或现象的普遍性判断.2.你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？提示：其思维过程为：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.【过关小练】1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A.28B.32C.33D.27【解析】选B.由以上各数可得每两个数之间依次差3，6，9，12，…，故x=20+12=32.2.已知数列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N*)，则可归纳猜想{an}的通项公式为.【解析】由条件可知：由此可猜测an=答案：an=nn2a2a1234512212222a21222352aaaa2122a32456222325，，，，，2.n12n1主题二：类比推理【自主认知】已知三角形的如下性质，据此回答下列问题①三角形的两边之和大于第三边；②三角形的面积等于高与底乘积的12．(1)试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.提示：①四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②四面体的体积等于底面积与高乘积的(2)以上两个推理有什么共同特点？提示：都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的.13．➡根据以上探究过程，试着写出类比推理的定义：1.类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中_____对象的某些已知特征，推出_______对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).(2)简述：类比推理是由_____到_____的推理.一类另一类特殊特殊2.合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、_____、_____、联想，再进行归纳、类比，然后提出_____的推理，我们把它们统称为合情推理.(2)推理的过程：分析比较猜想分析比较猜想【合作探究】1.归纳推理与类比推理有没有共同点？提示：有.二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论.2.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：不一定.归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，而是偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一定可靠，因此也不一定正确.【过关小练】1.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S=，可推知扇形面积公式S扇等于()【解析】选C.底弧长l，高半径r，故选C.2底高22rrA.B.C.D.222不可类比ll2.正方形的面积为边长的平方，则在空间中，与之类比的结论是.【解析】由平面中正方形的面积为边长的平方，则在空间中可类比得到正方体的体积为棱长的立方.答案：正方体的体积为棱长的立方【归纳总结】1.归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.2.类比推理的特点(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果.(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠.(3)类比的结果是猜测性的，不一定正确.但它却具有发现的功能.3.类比推理的适用前提(1)运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性.(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象.类型一：归纳推理在数、式中的应用【典例1】(1)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199(2)已知f(x)=，设f1(x)=f(x)，fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n1，且n∈N*)，则f2(x)的表达式为，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为.x1x【解题指南】(1)记an+bn=f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.(2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果.【解析】(1)选C.记an+bn=f(n)，则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4；f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7；f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)=f(4)+f(5)=18；f(7)=f(5)+f(6)=29；f(8)=f(6)+f(7)=47；f(9)=f(7)+f(8)=76；f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.(2)因为f(x)=，所以f1(x)=又因为fn(x)=fn-1(fn-1(x))，所以f2(x)=f1(f1(x))=f3(x)=f2(f2(x))=x1xx.1xxx1xx12x11x，xx12xx14x1212x，f4(x)=f3(f3(x))=f5(x)=f4(f4(x))=所以根据前几项可以猜想fn(x)=答案：xx14x.x18x1414xxx18xx116x1818x，n1x.12x2nn1xxfxfx12x12x【延伸探究】本例(2)中，若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为“fn(x)=f(fn-1(x))”，其他条件不变，其结论fn(x)的表达式如何呢？【解析】因为f(x)=所以f1(x)=又因为fn(x)=f(fn-1(x))，所以f2(x)=f(f1(x))=x1x，x1x，xx1x.x12x11x所以根据前几项可以猜想fn(x)=324354xx12xfxffxx13x112xxx13xfxffxx14x113xxx14xfxffxx15x114x，，，x.1nx【规律总结】数、式中归纳推理的一般规律(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论.(2)数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.①通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；②根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.【巩固训练】(2015·西安高二检测)已知数列{an}的前n项和为S，a1=3，满足Sn=6-2an+1(n∈N*).(1)求a2，a3，a4的值.(2)猜想an的表达式.【解析】(1)因为a1=3，且Sn=6-2an+1(n∈N*)，所以S1=6-2a2=a1=3解得a2=又S2=6-2a3=a1+a2=3+解得a3=又S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+所以有a4=(2)由(1)知猜想an=(n∈N*).32，32，34，3324，3.8123401233333333a3aaa2224282，，，n132【补偿训练】观察下列等式1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式为.【解析】观察等式左侧：第一行有1个数是1，第二行是3个连续自然数的和，第一个数是2，第三行是5个连续自然数的和，第一个数是3，第四行是7个连续自然数的和，第一个数是4.照此规律，第5行应该是连续9个自然数的和，第一个数为5，所以第5行左侧：5+6+7+8+9+10+11+12+13；等式右侧：第一行1=12，第二行9=32，第三行25=52，第四行49=72，则第5行应为81=92.所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81类型二：归纳推理在几何中的应用【典例2】(1)(2015·广元高二检测)下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大(2)(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812(3)如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，则点M的坐标是.【解题指南】(1)由珠子的排列分析可知其具有周期性.(2)本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键.(3)根据题意，由△ABC确定△A1B1C1，依次确定△A2B2C2，…，最终逼近△ABC三条中线的交点，从而可得结论.【解析】(1)选A.由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5=7余1，所以第36颗珠子的颜色为白色.(2)因为5+6-9=2，6+6-10=2，6+8-12=2，所以F+V-E=2.答案：F+V-E=2(3)由△A1B1C1的三个顶点分别在△ABC的三条中线上，△A2B2C2的三个顶点分别在△A1B1C1的三条中线上，△A3B3C3的三个顶点分别在△A2B2C2的三条中线上，…，由此类推，这一系列的三角形的顶点无限逼近△ABC的重心.故由已知可得，点M的坐标为答案：52()33，．52()33，【规律总结】1.几何问题中推理的特点由一组平面或空间图形，归纳猜想其几何元素数量的变化规律，这类题颇有智力趣题的味道，需要仔细观察，从不同的角度探索规律.2.利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.【巩固训练】(1)(2015·太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：根据上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2(2)(2015·青岛高二检测)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由