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第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理【自主预习】1.归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的_________具有某些特征,推出该类事物的_________都具有这些特征的推理,或者由_________概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称_____)由两类对象具有_____________和其中一类对象的_____________,推出另一类对象也具有_________的推理称为类比推理(简称____)特征归纳推理是由_____到____、由_____到_____的推理类比推理是由_____到_____的推理部分对象全部对象个别事实归纳某些类似特征某些已知特征这些特征类比部分整体个别一般特殊特殊2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过_____、_____、比较、_____,再进行_____、_____,然后提出_____的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理过程观察分析联想归纳类比猜想猜想【即时小测】1.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72017的末尾两位数字为()A.01B.43C.07D.49【解析】选C.因为71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,可见这些数的末尾两位数字是周期性出现,且周期T=4.又2017=4×504+1,所以72017的末尾两位数字与71的末尾两位数字相同,是07.2.数列2,5,11,20,x,47,…中的x的值为()A.28B.32C.33D.27【解析】选B.由已知得5-2=3,11-5=6=2×3,20-11=9=3×3,x-20=4×3,所以x=32.3.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较为合适()A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形【解析】选C.平行四边形,对边平行且相等,平行六面体,对面平行且全等.【知识探究】探究点1归纳推理1.归纳推理是从特殊到一般的推理吗?提示:是从特殊到一般的推理.2.归纳推理所得的结论一定正确吗?提示:归纳推理所得结论不一定正确,需验证或证明.【归纳总结】归纳推理的四个特点(1)前提:几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围.(2)结论:具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.(3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行.(4)作用:具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段.探究点2类比推理1.类比推理是从特殊到一般的推理吗?提示:不是,类比推理是从特殊到特殊的推理.2.类比推理得出的结论正确吗?提示:类比推理得出的结论不一定正确.3.什么样的两类对象才可以类比?提示:两类对象必须具有可比性,即必须具有类似特征.【归纳总结】类比推理的三个特点(1)类比推理结论的猜测性.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的问题及其研究方法.(3)类比推理的关键点.由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.易错警示:归纳推理是对同类对象,而类比推理是针对两类对象之间的推理.类型一归纳推理【典例】1.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是________.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体68122.(2016·聊城高二检测)由下列各式:13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102请你归纳出一般结论.【解题探究】1.典例1求解的关键是什么?提示:观察表中数据分析出顶点数、面数,棱数的关系是解题的关键.2.典例2中各等式的结构特征是什么?提示:等式左边是几个连续自然数的立方和,右边是这几个连续自然数和的平方.【解析】1.因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,所以V+F-E=2.答案:V+F-E=22.观察已知各式的构成规律可以发现,各等式左边是几个连续自然数的立方和,右边是这几个连续自然数和的平方.即一般结论为13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.【方法技巧】1.由已知数式进行归纳推理的步骤(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征.(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(3)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略【拓展延伸】归纳推理的基本逻辑形式S1具有(或不具有)P,S2具有(或不具有)P,……Sn具有(或不具有)P(S1,S2,…,Sn是A类事物的对象),由此猜想:A类事物具有(或不具有)P.【变式训练】(2016·菏泽高二检测)有两种花色的正六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形花纹的正六边形的个数是()A.26B.31C.32D.36【解题指南】数出前三个图案中有菱形花纹的正六边形个数,注意分析规律,由此规律作出推断.【解析】选B.有菱形花纹的正六边形个数如下表:图案第一个第二个第三个…个数61116…由表可以看出有菱形花纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形花纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.类型二类比推理【典例】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.【解题探究】典例中直角三角形满足两边垂直,在空间中的四面体应满足什么特征?提示:考虑到直角三角形的两条边互相垂直,我们可以选取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比对象.【解析】如题图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类似地,如图所示,在四面体P-DEF中,∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°.设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积,相应于直角三角形的两条直角边a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想2222123SSSS.＝【延伸探究】1.把题设条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜想.【解析】如图,在Rt△ABC中,cos2A+cos2B=.22222baab()()1ccc＝＝于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中,我们猜想,三棱锥P-A′B′C′中,若三个侧面PA′B′,PB′C′,PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.2.如图,作CD⊥AB于D,则有.类比该性质,试给出空间中四面体性质的猜想,并证明.222111CDab【解析】类比猜想:在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,则如图,连接BE交CD于F,连接AF,因为AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,所以AB⊥平面ACD,22221111.AEABACAD而AF⊂平面ACD,所以AB⊥AF,在Rt△AEF中,AE⊥BF,所以易知在Rt△ACD中,AF⊥CD,222111.AEABAF所以所以22221111.AEABACAD222111,AFACAD【方法技巧】类比推理的一般步骤【补偿训练】(2016·安庆高二检测)如图所示,在△ABC中,射影定理可表示为a=b·cosC+c·cosB.其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.【解析】如图,在四面体P-ABC中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积;α,β,γ分别表示平面PAB、平面PBC,平面PCA与底面ABC所成的二面角.我们猜想射影定理类比到空间得S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ.自我纠错类比推理【典例】若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质,相应地:若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且cn0,则数列dn=_________(n∈N*)也是等比数列.123nnaaaabn＝【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是忽视了对等差数列中“除法运算的类比.正确解答过程如下:【解析】由等差、等比数列之间的运算的相似特征知,容易得出dn=也是等比数列.答案:n123nccccn123ncccc,类比类比“和积商开方”