高中数学人教版选修12同课异构教学课件2212分析法精讲优练课型

第2课时分析法【自主预习】分析法(1)概念:从_____________出发,逐步寻求使结论成立的_________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件.要证明的结论充分条件(2)思维过程用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图表示为:【即时小测】1.要证成立只需证()327622222222A.(32)(76)B.(37)(26)C.(36)(72)D.(327)(6)【解析】选C.要证成立,即证成立,因两数均为正数,故只需证成立.3276367222(36)(72)2.用分析法证明:欲使①AB,只需②CD.这里①是②的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.分析法的本质是证明结论的充分条件成立,即②⇒①,所以①是②的必要条件.3.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整:要证≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证________,即证________,由于________显然成立,因此原不等式成立.22ab222ab2【解析】分析法就是要证结论成立的充分条件.即应填:a2+b2-2ab≥0,(a-b)2≥0,(a-b)2≥0.答案:a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥0【知识探究】探究点分析法1.分析法的证明过程是“由因导果”还是执果索因?提示:分析法证明过程是执果索因,一步步寻找结论成立的充分条件.2.分析法的优越性是什么?提示:(1)环环相扣:从结论出发,要证……,只要证……过程严密紧凑.(2)步步可逆:每一步都在寻找充分条件,因此整个过程倒过来即是综合法证明.【归纳总结】1.分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理的过程,实际上是寻找使结论成立的充分条件.(2)分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.2.用分析法书写证明过程时的格式“要证……,只需证……,只需证……,……由于……显然成立(已知,已证…),所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.3.分析法与综合法的关系(1)综合法是由因导果,步骤严谨、逐层递进、步步为营,书写表达过程条理清晰、形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.缺点是探路艰难、困于思考、不易达到所要证明的结论.(2)分析法是执果索因,方向明确、利于思考、思路自然,便于寻找解题思路.缺点是思路逆行、易表述出错.易错警示:用分析法证明问题时,证明过程中“要证……;只需证……,只需证……,……,由于……显然成立,故原结论成立”的关联词不能省略,否则就不是分析法了.类型一分析法证明不等式【典例】1.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥044ab22(ab)22.(2016·淄博高二检测)如果,则实数a,b应满足的条件是________.3.(2016·郑州高二检测)已知非零向量a⊥b,求证:aabbabba2.abab【解题探究】1.典例1中的条件“a2+b2-1-a2b2如何变形?提示:因式分解.2.典例2中,如何探求a,b满足的条件?提示:采用分析法.3.典例3中可采用什么方法来证明?提示:可采用分析法,逐步探寻不等式成立的充分条件.【解析】1.选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-a2b2)+(b2-1)=a2(1-b2)+(b2-1)=(a2-1)(1-b2)=-(a2-1)(b2-1).故只需a≠b,且a≥0,b≥0即可.答案:a≥0,b≥0且a≠b22.aabbabbaaaabbabbaabbababab0abab03.因为a⊥b,所以a·b=0要证:只需证:|a|+|b|≤|a-b|平方得|a|2+|b|2+2|a|·|b|≤2(|a|2+|b|2)只需证:|a|2+|b|2-2|a|·|b|≥0成立.即只需证:(|a|-|b|)2≥0,它显然成立.故原不等式得证.2，abab2【方法技巧】分析法证明不等式的方法与技巧特别提醒:逆向思考是分析法证明的立体思路,通过反推,逐步探寻使结论成立的充分条件,正确把握转化方向,使问题得以解决.切记“逆向”“反推”,否则会出现错误.【拓展延伸】分析法证明问题的注意事项(1)对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等式(等式)的命题不便于用综合法证明时,常常考虑用分析法证明.(2)分析法证明命题成立必须保证步步有理有据,转化合理,得到的结果必须是显然的,如已知条件、定理、定义、公理等.【变式训练】已知a5,求证:a5a3a2a.【证明】要证只需证只需证即即只需证只需证a2-5aa2-5a+6,即证:06,此不等式恒成立.所以原不等式成立.a5a3a2a，a5aa2a3，22(a5a)(a2a3)，222a2a5a52a52a5a6，22a5aa5a6，类型二分析法与综合法的应用【典例】已知a,b,c表示△ABC的三边长,m0,求证:abc.ambmcm【解题探究】本例中a,b,c满足什么关系?提示:任意两边之和大于第三边.【证明】要证明只需证明即可,所以因为a0,b0,c0,m0,所以(a+m)(b+m)(c+m)0.因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)abc.ambmcmabc0ambmcm－abcambmcm－abmcmbamcmcambmambmcm－=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2=2abm+abc+(a+b-c)m2.因为△ABC中任意两边之和大于第三边,所以a+b-c0,所以(a+b-c)m20,所以2abm+abc+(a+b-c)m20,所以abc.ambmcm【延伸探究】1.本例增加条件“三个内角A,B,C成等差数列”求证:113.abbcabc＋＝【证明】要证即证即证即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即证c2+a2=ac+b2.因为△ABC三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60°.由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°,113abbcabc＋＝，abcabc3abbc＋＝，ca1.abbc＋＝即b2=c2+a2-ac.所以c2+a2=ac+b2成立,命题得证.2.本例改为求证abc.1ab1c【证明】要证只需证a+b+(a+b)c(1+a+b)c.即证a+bc.而a+bc显然成立.所以abc.1ab1cabc.1ab1c【方法技巧】1.分析法与综合法的关系分析法与综合法的关系可表示为下图:从图中可以看出,逆向书写分析过程,同样可以完成证明,这就是综合法.由此使我们想到,用分析法探路,用综合法书写,也是一种很好的思维方式.2.分析综合法分析法与综合法是两种思路相反的推理方法,分析法是倒溯,综合法是顺推.因此常将二者交互使用,互补优缺点,从而形成分析综合法,其证明模式可用框图表示如下:其中P表示已知条件、定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论.【补偿训练】已知a,b,c是不全相等的正数,且0x1.求证:xxxxxxabbccaloglogloglogalogblogc.222【解题指南】首先利用对数运算法则和对数函数的性质转化为证明整式不等式问题,然后运用分析法、综合法进行证明.【证明】要证logxa+logxb+logxc,只需证明logxlogx(abc),又0x1.故只需证明因为a,b,c是不全相等的正数.xxxabbccalogloglog222abbcca()222abbccaabc.222222xxxxxxabbccaab0,bc0,ca0.222abbccaabcabc.222abbccaabc.222abbccaloglogloglogalogblogc.222所以所以即成立所以，成立自我纠错分析法与综合法的应用【典例】求证:21026.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是解题步骤错误.把要证的结论当成已知条件了,不符合分析法的步骤.正确解答过程如下:21026【解析】因为都是正数.所以要证只要证明展开得12+424,即3,只需证59,因为59显然成立,故不等式成立.2102621026和22(210)(26)5521026