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2.2.2反证法【自主预习】反证法的定义及证题关键不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义定理公理事实【即时小测】1.命题“△ABC中,若∠A∠B,则ab”的结论的否定应该是()A.abB.a≤bC.a=bD.a≥b【解析】选B.“ab”的对立面为“a≤b”.2.实数a,b,c不全为0等价于()A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0【解析】选D.“不全为0”的对立面为“全为0”,故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是()A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°【解析】选B.“三个内角至少有一个不大于60°”的含义是有一个,两个或三个内角不大于60°,所以否定是“都大于60°”.4.应用反证法推出矛盾的过程中,要把下列哪些作为条件使用________(填序号).①结论的否定即反设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原命题的结论.【解析】根据反证法的定义知①②③均可作为条件使用.答案:①②③5.设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1.求证:a2+b2+d2+c2+ab+cd≠1.【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则a2+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0,即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0,所以a+b=0且c+d=0且a-d=0且b+c=0,所以a=b=c=d=0与ad-bc=1矛盾.所以假设不成立,原结论成立.【知识探究】探究点反证法1.反证法的“反设”是否命题吗?提示:不是,反证法的“反设”是对命题结论的否定.2.反证法证题的核心是什么?提示:核心是推出矛盾.【归纳总结】1.对反证法的三点说明(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.(3)并非所有问题都可采用反证法证明,只有当问题从正面求解不好处理时或较繁琐时,才考虑反证法.2.反证法证题的本质、常用的反证方法(1)本质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面要一一否定,不能遗漏.(2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.易错警示:用反证法证题时,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.类型一用反证法证明否(肯)定性命题【典例】1.(2016·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果ab,那么a3b3”时,假设的内容是()A.a3=b3B.a3b3C.a3≤b3D.a3b3且a3=b32.(2016·德州高二检测)用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①A+B+C=90°+90°+C180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中有两个直角,不妨设A=B=90°.上述步骤的正确顺序为________.【解题探究】1.典例1中结论“a3b3”的反面是什么?提示:a3≤b3.2.典例2中,①②③在反证法中各是什么?提示:①是推出矛盾;②作出结论;③是反设.【解析】1.选C.假设的内容应为结论“a3b3”的否定“a3≤b3”,故选C.2.根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论.知正确的顺序应为③①②.答案:③①②【方法技巧】1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.2.用反证法证明数学命题的步骤特别提醒:(1)用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的思路步骤,其次注意反证法是在条件较少,直接证明不易入手时常用的方法.(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题,结论的反面比较具体,适于应用反证法.(3)注意否定结论时,要准确无误.【变式训练】(2016·沈阳高二检测)已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证:不成等差数列.abc，，【证明】假设成等差数列,则即a+c+2=4b,又a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b=所以a+c+2=4,即()2=0,所以a=c,从而a=b=c,这与已知a,b,c不成等差数列矛盾.所以假设不正确.故不成等差数列.abc，，ac2b,acac.acacacabc，，类型二反证法证明“至多”“至少”问题【典例】(2016·威海高二检测)已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.14【解题探究】典例中“不能都大于”的含义是什么?提示:“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于.因为a,b,c∈(0,1),所以1-a0,1-b0,1-c0.所以同理141ab111ab.242＝1bc1ca11.2222，三式相加得即,矛盾.所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.1ab1bc1ca32222＋＋，332214【延伸探究】1.已知实数a,b,c∈[0,1],则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为()A.B.1C.D.23432【解析】选B.用构造函数法,选取a为变量,令f(a)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)是关于a的一次函数,令a=1,得f(1)=1-b+b-bc=1-bc≤1;令a=0得f(0)=b-bc+c=b+c-bc-1+1=-(1-b)(1-c)+1≤1,由于一次函数最大值在端点0或1处取得,而f(0),f(1)均小于等于1,所以在[0,1]上,f(a)≤1,即a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)≤1.则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为1.取得最大值的条件是a,b,c中一个为0,一个为1,另一个可以取[0,1]内的任意一个数.2.已知a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.【证明】假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.因为a,b,c∈(0,2),所以2-a0,2-b0,2-c0.所以同理(2a)b(2a)b1.2－－(2b)c(2b)c12－－，(2c)a(2c)a1.2－－三式相加得即33,矛盾.所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.(2a)b(2b)c(2c)a3222－－－，【方法技巧】证明时常见的“结论词”与“反设词”【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a≤-或a≥-1时,至少有一个方程有实数根.32【证明】假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零得212222331a,4a44a30,221a14a0,aa1,32a42a0,2a0.则或解得-a-1,与a≤-或a≥-1矛盾,故原命题成立.3232【延伸探究】若关于x的方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0,x2+3x-a+=0中至少有一个方程有实数根,则a的取值范围是________.254【解析】因为三个方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0,x2+3x-a+=0中至少有一个方程有实数根,所以假设这三个方程都没有实数根,则三个方程的判别式都是负数,254所以所以a4,所以三个方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0,x2+3x-a+=0中至少有一个方程有实数根,则实数a的取值范围是a≤或a≥4.答案:a≤或a≥4721642a303643a1202594(a)04，，，2547272类型三用反证法证明存在性、唯一性问题【典例】1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反设应分为________和________.2.证明方程2x=3有且只有一个根.【解题探究】1.典例1中两直线的交点个数有几种情形?提示:0、1、无数个.2.典例2中“有且只有”的含义是什么?提示:“有”表示存在,“只有”表示唯一.【解析】1.两条直线的交点个数包括:没有交点,有且只有一个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为无交点和不只有一个交点.答案:无交点不只有一个交点2.因为2x=3,所以x=log23,这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3有两个根为b1,b2(b1≠b2).则=3,=3,两式相除得=1.如果b1-b20,则1,这与=1相矛盾;如果b1-b20,则1,这与=1相矛盾;1b22b212bb2－12bb2－12bb2－12bb2－12bb2－如果b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2相矛盾.如果方程2x=3的根多于两个,同样可以推出矛盾.故2x=3有且只有一个根.【方法技巧】证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证明往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证明,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.提醒:证明“有且只有”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.【变式训练】若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且f(a)0,f(b)0,f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【解题指南】先用零点存在性定理证明存在性,再用反证法证明唯一性.【证明】由于f(x)在[a,b]上的图象连续,且f(a)0,f(b)0,即f(a)·f(b)0,所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)=0.假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)=0,则n≠m.若nm,则f(n)f(m),即00,矛盾;若nm,则f(n)f(m),即00,矛盾.因此假设不正确,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【补偿训练】用反证法证明:过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行.【证明】由两条直线平行的定义和几何图形可知,过点A至少有一条直线与直线a平行.假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行,即b∩b′=A,b′∥a.因为b∥a,由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′=A矛盾,所以假设错误,原命题成立.自我纠错用反证法证明问题【典例】已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0.用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是对反证法的理解不正确.实际上反证法证明问题的步骤为假设结论不成立,经过推理得出矛盾,否定假设,肯定结论.本解法没有用到假设的结论,不是反证法.正确的解答过程如下:【解析】假设方程x2-2x+5-p2=0有实根.则该方程的判别式Δ=4-4(5-p2)=4(p2-4)≥0,解得p≤-2或p≥2,若p≤-2,则p+2≤0,2