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第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念【自主预习】1.复数的有关概念(1)复数①定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做_________,满足i2=___,a叫做复数的_____,b叫做复数的_____.虚数单位-1实部虚部②表示方法:复数通常用______表示,即________________,这一表示形式叫做复数的代数形式.字母zz=a+bi(a,b∈R)(2)复数集①定义:_________所成的集合叫做复数集.②表示:通常用大写字母C表示.全体复数2.复数的分类(1)对于复数z=a+bi(a,b∈R)而言,①z为实数⇔b=0,②z为虚数⇔b≠0,③z为纯虚数⇔a0,b0.(2)集合表示:3.复数相等的充要条件设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔_________.a=c且b=d【即时小测】1.i-1的实部和虚部分别是()A.,-1B.-1,C.1,D.,1【解析】选B.i-1=-1+i=a+bi,所以实部a=-1,虚部b=.555555552.3i2+7i的实部为________,虚部为________.【解析】因为3i2+7i=-3+7i,所以实部为-3,虚部为7.答案:-373.如果复数z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,则a的值等于________.【解析】由题意知解得a=-1.答案:-12a10,a10，4.若x,y为实数且满足(2x-y)i+(x-y)=3+2i,则x=________,y=________.【解析】由题意知解得答案:-1-42xy2,xy3.x1,y4.【知识探究】探究点1复数的有关概念1.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?提示:不一定,只有当a,b∈R时,a才是实部,b才是虚部.2.i可以与任何实数作任何运算吗?提示:不可以.i既然与实数之间建立了四则运算关系,运算与实数一致,由于在实数运算中0不能作除数,故i不可以除以任何实数.【归纳总结】1.数系扩充的脉络自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.2.虚数单位i性质的两个关注点(1)i2=-1的理解:并没有规定i=±还是i=或i=-.111(2)i与实数之间可以进行四则运算:这条性质是数系扩充的原则之一,这里只提到加、乘运算,没提到减、除运算,并不是对减法与除法不成立,而是为了与后面讲复数的四则运算时,只对加法、乘法法则作出规定,而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致.特别提醒:数系扩充后在复数的代数形式a+bi的表示中注意a,b∈R这一条件.探究点2复数的分类1.a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的什么条件?提示:当a=0,b=0时z=0∈R;a=0,b≠0时,z为纯虚数,所以a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.2.若z1,z2∈R,z12+z22=0,则z1=z2=0,此命题对z1,z2∈C还成立吗?提示:不一定成立.比如z1=1,z2=i满足z12+z22=0,但z1≠0,z2≠0.【归纳总结】1.复数分类的依据复数分类的依据是虚数单位i,若含有i则为虚数,不含有i则为实数;对于虚数,若实部为零,则又称其为纯虚数.2.两个复数相等的充要条件(1)在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解.易错警示:两个复数不一定能比较大小,当两个复数都是实数时,可以比较大小;两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实数外,没有大小关系.类型一复数的概念【典例】1.给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1虚部是2i;③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.32.(2016·启东高二检测)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是________.3.判断下列命题的真假.(1)若x,y∈C,则x+yi=1+2i的充要条件是x=1,y=2.(2)若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.(3)实数集的补集是虚数集.【解题探究】1.典例1中虚数的平方是否大于等于0?复数中的虚部是否一定为实数?提示:虚数的平方不一定大于等于0,复数中的虚部一定为实数.2.典例2中复数z=a2-(2-b)i的实部与虚部分别是什么?提示:实部为a2,虚部为-(2-b).3.典例3(1)中数x,y是否一定为实数?提示:(1)中数x,y不一定为实数,也可能是虚数.【解析】1.选B.对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成立,如z=i,z2=-10,所以①为假命题;对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②为假命题;对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③为真命题.2.由题意得:a2=2,-(2-b)=3,所以a=±;b=5.答案:±,5223.(1)由于x,y都是复数,故x+yi不一定是代数形式,因此不符合两个复数相等的充要条件,故(1)是假命题.(2)当a=0时,ai=0为实数,故(2)为假命题.(3)由复数集的分类知,(3)正确,是真命题.【方法技巧】判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.(2)化代数形式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实、虚部.特别提醒:解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质.【变式训练】下列命题:①1+i2=0;②若a,b∈R,且ab,则a+ib+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④两个虚数不能比较大小.其中,正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.对于①,因为i2=-1,所以1+i2=0,故①正确.对于②,两个虚数不能比较大小,故②错.对于③,当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,故③错.④正确.【补偿训练】判断下列命题的真假.(1)复数a+bi不是实数.(2)(a+bi)2≥0.(3)复数z=3+bi0(b∈R),则b=0.【解析】根据复数的有关概念判断命题的真假.(1)是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数.(2)假命题,当b≠0时,(a+bi)2是虚数,与零不能比较大小.(3)只有实数才可以比较大小,既然有3+bi0,则说明z=3+bi为实数,故b=0,(3)是真命题.类型二复数的分类【典例】(2016·青岛高二检测)当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i为(1)虚数.(2)纯虚数.2mm6m【解题探究】复数z=a+bi(a,b∈R),在什么条件下z为虚数?在什么条件下为纯虚数?提示:当b≠0时z为虚数,当a=0,b≠0时z为纯虚数.【解析】(1)要使z为虚数,则m必须满足m2-2m≠0,且m≠0,即m≠0且m≠2,所以当m≠0且m≠2时复数z是虚数.(2)要使z为纯虚数,则m必须满足解得m=-3,即当m=-3时,复数z是纯虚数.22mm60,mm2m0,【延伸探究】1.条件不变,当m为何值时z为实数?【解析】要使z为实数,则m必须满足解得m=2,即当m=2时,复数z是实数.2m2m0,m0,【解析】(1)当z为虚数时,a的取值满足所以a≠±1且a≠6.22a5a60,a1a6,a1,a10,且即2.将复数改为求相应的问题.222a7a6z(a5a6)ia1，(2)当z为纯虚数时,a的取值满足所以所以不存在实数a使z为纯虚数.222a5a60,a10,a7a60,a1a6,a1,a6a1,且或【方法技巧】解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.【拓展延伸】复数分类的应用(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验算是很必要的.(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解决复数问题的重要思路之一.【补偿训练】实数m取什么值时,复数z=(m2-3m+2)+(m2-4)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解析】(1)要使z为实数,必须有m2-4=0,得m=-2或m=2,即当m=-2或m=2时,z为实数.(2)要使z为虚数,必须有m2-4≠0,即m≠-2且m≠2,故当m≠-2且m≠2时,z为虚数.(3)要使z为纯虚数,必须有所以所以m=1,所以当m=1时,z为纯虚数.22m40,m3m20,m2m2,m1m2,且或类型三复数相等【典例】1.已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,则x=________,y=________.2.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},同时满足M∩NM,M∩N≠,求整数a,b.【解题探究】1.复数(2x-1)+i的实部与虚部分别是多少?复数-y-(3-y)i的实部与虚部分别是多少?提示:复数(2x-1)+i的实部为2x-1,虚部为1;复数-y-(3-y)i的实部为-y,虚部为-(3-y).2.由条件M∩NM,M∩N≠∅能得到的结论是什么?提示:M∩NM知两个集合M,N不能相等.由M∩N≠∅能得到两个集合M,N中有公共元素.【解析】1.由复数相等的充要条件得解得答案:-42x1y,1y3.3x,2y4.322.由条件M∩NM,M∩N≠∅,得(a+3)+(b2-1)i=3i;①或8=(a2-1)+(b+2)i.②或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③由①得a=-3,b=±2,当a=-3,b=2时,M={3i,8},N={3i,8+4i}满足题意.经检验,a=-3,b=-2不合题意,舍去.由②得b=-2,a=-3或b=-2,a=3,当b=-2,a=-3时不合题意,舍去.当b=-2,a=3时,M={6+3i,8},N={3i,8}满足题意.由③得得a,b不是整数舍去.故a=-3,b=2或a=3,b=-2.22a3a1,b1b2,【方法技巧】化复为实转化求解应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两侧的复数写成代数形式,即分离出实部与虚部,然后确定两个独立参数方程,化复数问题为实数问题.【变式训练】已知x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10-5i,求x,y.【解析】因为x,y∈R,所以x+2y-1,x-3y+4是实数,所以由复数相等的条件得解得所以x=3,y=4.x2y110,x3y45,x3,y4.【补偿训练】已知P={-1,1,4i},M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i}.若M∪P=P,求实数m的值.【解析】因为M∪P=P,所以M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得m2-2m=-1,m2+m-2