高中数学人教版选修12同课异构教学课件321复数代数形式的加减运算及其几何意义精讲优练课

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义【自主预习】复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1,z2,z3∈C,设分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且不共线12OZOZ，12OZOZ，加法减法运算法则z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=(a-c)+(b-d)i几何意义复数的和z1+z2与向量的坐标对应复数的差z1-z2与向量的坐标对应1OZ2OZOZ1221OZOZZZ加法减法运算律交换律z1+z2=z2+__结合律(z1+z2)+z3=z1+(_____)z1z2+z3【即时小测】1.(2015·福建高考)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4【解题指南】根据复数相等的含义求解.【解析】选A.由题可知3-2i=a+bi,因为a,b均为实数,所以a=3,b=-2.2.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i【解析】选D.z=3-i-(i-3)=6-2i.【知识探究】探究点1复数的加法与减法运算1.两个复数的和是个什么数,它的值唯一吗?提示:仍然是个复数,是唯一的复数.2.若复数z1,z2满足z1-z20,能否认为z1z2?提示:不能.如2+i-i0,但2+i与i不能比较大小.【归纳总结】对复数加法减法运算的五点说明(1)一种规定:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算.(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一的复数.(4)适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算.(5)虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号,合并同类项即可.特别提醒:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.探究点2复数加减法的几何意义1.类比绝对值|x-x0|的几何意义,说明|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义.提示:|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复平面内点Z(对应z的点)到点Z0(对应z0的点)的距离,即||=|z-z0|.0ZZ2.既然复数的加减法可以按照向量加减法的运算法则来运算,是不是就有z1+z2=z2-z1=呢?21OZOZ，21OZOZ提示:因为复数的几何意义只是强调了复数与向量之间的对应关系;式子z1+z2=z2-z1=的左边是复数,而右边是向量,因此不能说z1+z2与,z2-z1与相等.21OZOZ21OZOZ21OZOZ21OZOZ【归纳总结】对复数加减运算几何意义的两点说明(1)复数的加法:根据复数加法的几何意义知,两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数.(2)复数的减法:根据复数减法的几何意义,两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数.易错警示:注意向量的加减法与复数的加减法之间的关系.类型一复数的代数形式的加减运算【典例】1.若z1=2+i,z2=3+ai,复数z1+z2所对应的点在实轴上,则实数a=()A.-2B.2C.-1D.12.计算:(1)(-2+3i)+(5-i).(2)(-1+i)+(1+i).(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).22【解题探究】1.本例1中复数z1+z2的值是多少?实轴上的点所对应复数的虚部是多少?提示:z1+z2=5+(a+1)i,实轴上点的纵坐标为0,则实轴上的点所对应复数的虚部是0.2.解答本例2的思路是什么?提示:明确复数的实部和虚部,实部与虚部分别相加减.【解析】1.选C.由z1+z2=5+(a+1)i所对应的点在实轴上得a=-1.2.(1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.(2)(-1+i)+(1+i)=(-1+1)+(+)i=2i.(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.22222【延伸探究】将本例1改为“若z1=2+i,z2=3+ai,复数z1+z2所对应的点在第四象限上,求实数a的取值范围”.【解析】由题意知a+10,解得a-1.【方法技巧】复数加、减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.特别提醒:注意运算格式及范围,避免出错(1)在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个复数,其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号,如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i(a,b,c,d∈R).(2)复数中出现字母时,首先要判断其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与虚部分别相加.【变式训练】计算:(1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i).(2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2011-2012i).【解析】(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i.(2)原式=(1-2+3-4+…[phone]+2011)+(-2+3-4+5-…-2010+2011-2012)i=1006-1007i.类型二向量的加减法的几何意义【典例】1.已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的第__________象限.2.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应的复数为0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数.(2)表示的复数.AOCA【解题探究】1.典例1中z1,z2,z在复平面内对应的点可以构成一个什么图形?提示:由z=z1-z2及复数减法的几何意义知,构成的是一个三角形.2.典例2中点O,A,C对应的坐标分别是什么?提示:分别是(0,0),(3,2),(-2,4).【解析】1.因为z1=3+2i,z2=1-3i,所以z=z1-z2=3+2i-(1-3i)=(3-1)+(2+3)i=2+5i.所以点Z位于复平面内的第一象限.答案:一2.(1)因为,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.AOOA,AOCAOAOC,CA【延伸探究】1.若本例2条件不变,试求点B所对应的复数.【解析】因为所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.所以点B所对应的复数为1+6i.OBOAOC,OB2.若本例2条件不变,求对角线AC,BO的交点M对应的复数.【解析】由题意知,点M为OB的中点,则由探究1中点B坐标为(1,6)得点M坐标为,所以点M对应的复数为1OMOB,21,3,2()13i.2【方法技巧】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论(1)技巧:①形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.②数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.(2)常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:①为平行四边形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.【补偿训练】已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=,求|z1-z2|．3【解析】设复数z1,z2,z1+z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,Z,由|z1|=|z2|=1知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是菱形,在△OZ1Z中,由余弦定理,得cos∠OZ1Z=所以∠OZ1Z=120°,所以∠Z1OZ2=60°,因此,△OZ1Z2是正三角形,所以|z1-z2|=|Z2Z1|=1.222121212|z||z||zz|12|z||z|2－，【延伸探究】若把本题中的条件“|z1+z2|=”改为|z1-z2|=1“|z1+z2|”,则等于多少?3【解析】设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,由|z1|=|z2|=1,|z1-z2|=1知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2,OZ为对角线,△OZ1Z2为正三角形,由余弦定理,得|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2-2|z1||z2|cos∠OZ1Z,因为∠Z1OZ2=60°,所以∠OZ1Z=120°,所以|z1+z2|=.3自我纠错复数加减法的几何意义【典例】已知:复平面上的四个点A,B,C,D构成平行四边形,顶点A,B,C对应于复数-5-2i、-4+5i、2,则点D对应的复数为________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是误认为复平面上的四个点A,B,C,D构成平行四边形只能是平行四边形ABCD,实际上还有平行四边形ABDC和平行四边形ACBD.正确的解答过程如下:【解析】(1)若ABCD是平行四边形,则所以所以=(2,0)+(-5,-2)-(-4,5)=(1,-7),所以点D对应的复数为1-7i.OAOBODOC,ODOCOAOB,即ODBACD，(2)若ABDC是平行四边形,则所以=(2,0)-(-5,-2)+(-4,5)=(3,7),所以点D对应的复数为3+7i.ABCD,ODOCOAOB(3)若ACBD是平行四边形,则=(-5,-2)+(-4,5)-(2,0)=(-11,3),所以点D对应的复数为-11+3i.综上所述,点D对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.答案:1-7i或3+7i或-11+3iACDB，ODOAOBOC