高中数学人教版选修12同课异构教学课件322复数代数形式的乘除运算情境互动课型

3.2.2复数代数形式的乘除运算已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.1.复数加法运算的几何意义?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?复平面中点Z1与点Z2间的距离|z1-z2|表示：_______________________.已知两复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)3.复数模的几何意义：Z1(a，b)oxyZ2(c，d)特别地，|z|表示：______________________.复平面中点Z与原点间的距离如：|z+(1+2i)|表示：________________________________.点(-1，-2)的距离点Z(对应复数z)到1.掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则.（重点）2.对复数除法法则的运用.（难点）3.乘法的运算法则与运算律.4.共轭复数的定义是什么.探究点1复数乘法运算我们规定，复数乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的乘积为：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i注意：两个复数的积是一个确定的复数.探究点2复数乘法的运算律复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？请验证乘法是否满足交换律?对任意复数z1=a+bi,z2=c+di则z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i而z2·z1=(c+di)(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i所以z1·z2=z2·z1(交换律)乘法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2=z2·z1(交换律)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)(结合律)z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3(分配律)例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1例2计算:(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i)2.解:(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.(23)(23)ii(3)10izz1.计算2.已知,则=133-i变式训练：,,,(3)()(3)(3)103103,,3301,zabiabRiabiababiabaziabb【解析】设则解得【总结提升】（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先处理括号里面的．探究点3共轭复数的定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.实数的共轭复数是它本身.思考：若z1，z2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z1·z2是一个怎样的数？记法：复数z=a+bi的共轭复数记作zz=a-bi解：⑴作图yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,0)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o得出结论：在复平面内，共轭复数z1,z2所对应的点关于实轴对称.⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi则z1·z2=(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2+b2结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.2221212.|z|||||zzzzzz，因此探究点4共轭复数的相关运算性质2222||||zzzzab1212zzzz1212zzzzzRzz0,为纯虚数zzzz且i(i)()i(i0()()iiiii)ii.满足的复数叫做复数除以复数的记或商作：cdabcdabxyxyababcddcdc(i)(i)i()()ii因为所以cdxyabcxdydxcyab探究点5复数除法的法则类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.所以cxdyadxcyb2222acbdxcdbcadycd2222(i)(i)i(i0).所以acbdbcadabcdcdcdcd复数除法的法则是:2222(i)(i)i(i0).acbdbcadabcdcdcdcd方法:在进行复数除法运算时,通常先把i(i)(i),ii,..写成的形式再把分子与分母都乘以分母的共轭复数化简后就可得到上面的结果这与作根式除法时的处理是很类似的ababcdcdcd在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.(12(.3)34)ii算例计22(12)(34)1234(12)(34)3864(34)(34)3451012.2555iiiiiiiiiiii解先写成分式形式然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数结果化简成代数形式变式训练：⑴(7)(34)ii⑵21()1ii⑶113232ii注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等.77343434342525125()()()()iiiiiiii【解析】(1)(7+i)(3+4i)=22222112211112(i))[]()()()iiiiii（）(113232433232323213()()()()iiiiiii（）1.（2015新课标高考）若a为实数且(2)(2)4aiaii，则a=（）A．1B．0C．1D．2B2.若复数z=1+i(i为虚数单位)是z的共轭复数，则+的虚部为（）A.0B.-1C.1D.-2z2z2zA3.(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足1+z1iz,则|z|=()A.1B.𝟐C.𝟑D.2A4.(2015·湖北高考)i为虚数单位,i607=()A.iB.-iC.1D.-1B5.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.121,1,xixi解：44442212(1)(1)(2)(2)8.xxiiii所以注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.6.（2015上海高考）若复数z满足31zzi，其中i为虚数单位，则z=．【解析】设(,)zabiabR，则113()1412142abiabiiabzi且1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并.2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立.3.当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.实数的共轭复数是它本身.4.复数代数形式的除法实质：分母实数化.男儿不展风云志，空负天生八尺躯.