高二人教A版必修5系列教案212数列的概念与简单表示法二

教学设计2.1.2数列的概念与简单表示法(二从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系教具准备多媒体三维目标一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验3.理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式师你能举例说明吗？生如数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n-1(n∈N*1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤n1,21,31,41,…的通项公式为an=n1(n∈N*［合作探究］数列的表示方法师通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？生图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1,21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势师说得很好，还有其他的方法吗？生师下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生模型一：自上而下第1层钢管数为4,即＝第2层钢管数为5,即＝第3层钢管数为6,即＝第4层钢管数为7,即＝第5层钢管数为8,即5＝第6层钢管数为9,即＝第7层钢管数为10,即＝若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an=n+3(1≤n≤7).师同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律生模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2依此类推：an=an-1+1(2≤n师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解生若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项师看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式注意：递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+an-2(3≤n2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法［例题剖析］【例1】设数列{an}满足1,11111＞naaann.写出这个数列的前五项师分析：题中已给出{an}的第1项即a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+11na我们将如何应用呢生这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了师请大家计算一下生解：据题意可知：a1=1,a2=1+11a=2,a3=1+21a=32,a4=1+31a=35,a5=58师掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系【例2】已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an师由例1的经验我们先求前5项生前5项分别为2，4，8，16，师对，下面来猜想第n项生由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察可得，我猜想an=2n师很好生老师，本题若改为求an是否还可这样去解呢师不能.必须有求解的过程生老师，我由an+1=2an变形可得an=2an-1，即21nnaa，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有32211nnnnnnaaaaaa…×1122naa，所以an=a1·2n-1=2n师太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法［知识拓展］已知a1=2，an+1=an-4,求an师此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢生1写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，观察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-生2他这种解法不行，因为不是猜出an，而是要求出an我这样解：由an+1-an=-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来an-an-1=-an-1-an-2=-an-2-an-3=-)1(44a)112naaan∴an=2-4(n-师好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的例如，由数列{an}中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列{an}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片(1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)；(2)a1＝1，an+1＝2nnaa(n∈N)；(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1)2(2)a1＝1，a2＝32，a3＝21=42，a4＝52，a5＝31=62，∴an＝12n(3)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32，a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3n-1注：不要求学生进行证明归纳出通项公式［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到爬一级梯子的方法只有一种[来源:Z+xx+k.Com]爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种则an=an-1+an-2+an-3(n则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=an-1+an-2+an-3(n≥4)，就可以求得a8课堂小结[来源:学§科§网Z§X§X§K]师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系生对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题预习内容：课本P41～P44板书设计数列的概念与简单表示法(二)一、定义二、例题讲解小结：7.递推公式：例通项公式与例2递推公式区别习题详解(课本第36页练习n1[来源:学科网ZXXK]2…5…12…nan2133…69…153…3(3+4n)2.前5项分别是：1,0,-1,0,-3.例1(1)an=);,12(1),,2(1NmmnnNmmnn(2)an=).,12(0),2(2NmmnNmmn此题是通项公式形式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子4.（1）an=121n(n∈Z+(2)an=nn2)1((n∈Z+(3)an=2121n(课本第38页习题A组1.(1)2，3，5，7，11，13，17，19；[来源:学#科#网](2)2,6,22,3,10,32,14,15,4,23(3)3精确到1，10-1,10-2,10-3,…,10-6的不足近似值构成的数列为1，1.7，1.73,1.732，…，1.732050；3精确到1，10-1,10-2,10-3,…,10-6的过剩近似值构成的数列为2，1.8，1.74,1.733，…，1.732注意：应该与学生讲清什么叫质数、合数、不足近似值与过剩近似值2.(1)1,41,91,161,251(2)2,-5,10,-3.(1)1,-4,9,-16,25,-an=(-1)n+1n2(2)1,2,3,2,5,6,7an=n4.(1)21,3,13,53,213.(2)41,5,54,415.对应的答案分别是：（1）16,21;an=1+5n;(2)10,13;an=1+3n;(3)24,35;an=n2+2n6.第5项为15，第6项为21，第7项为28,递推公式为an=an-1+n(这递推公式的答案可不尽相同B组1.该数列的递推公式是：an+1=1+8an,a1=1,通项公式是：an=718n此题是观察图形特征，给出数列通项公式的题目.教学中要注意引导学生对图形表示数字规律的认识和发现,要培养从整体上去认识图形规律的意识和能力.本题中第一个正方形块中着色正方形个数是1,第二个着色正方形个数是第一个着色正方形个数的8倍加1,第三个着色正方形个数是第二个着色正方形个数的8倍加1,依次类推,可以得出第n个正方形块中着色正方形的个数的递推公式,进而推导出数列的通项公式,也可鼓励学生用其他方法发现该数列通项公式2.a1a2=10×(1+0.72%)2a3=10×(1+0.72%)3an=10×(1+0.72%)n3.(1)1,2,3,5,8;(2)2,23,35,58,813备课资料一、数列通项公式的求法介绍求通项公式是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例1.观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项【例1】已知数列21,41,85,1613,3229,6461,…,写出此数列的一个通项公式解：观察数列前若干项可得通项公式为an=(-1)nnn232.2.公式法已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an=2,,1,11nSSnSnnSn-Sn-1,n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”,即a1和an合为一个表达式【例2】已知数列{an}的前n和Sn满足log2(Sn+1)=n