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第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.2四种命题的相互关系学习目标预习导学典例精析栏目链接1.掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决简单问题.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接基础梳理1．四种命题之间的关系：逆命题，若q则p否命题，若﹁p则﹁q逆否命题，若﹁q则﹁p学习目标预习导学典例精析栏目链接基础梳理2．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．例：命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题；它的逆否命题：“______________________”也是真命题；否命题“_______________________”是假命题，逆命题“______________________”也是假命题．相同的没有关系若sinx≠siny，则x≠y若x≠y，则sinx≠siny若sinx＝siny，则x＝y学习目标预习导学典例精析栏目链接自测自评1．下列说法，不正确的是()B学习目标预习导学典例精析栏目链接自测自评2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数BB学习目标预习导学典例精析栏目链接3．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若xy，则x2y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－60”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个自测自评学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，所以其否命题是真命题．(2)是假命题．原命题(如取x＝1，y＝0)是假命题，所以其逆否命题是假命题．(3)是假命题．该命题否命题为“若x3，则x2－x－6≤0”，显然是假命题．(4)是假命题.该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题．答案：B学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接题型一四种命题真假的判断例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若x＋y≠3，则x≠1或y≠2；(2)若m·n0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.分析：此类问题的一般解题步骤：①写出命题的条件、结论；②写出四种命题；③判断命题的真假．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)逆命题：若x≠1或y≠2，则x＋y≠3；假命题．否命题：若x＋y＝3，则x＝1且y＝2；假命题．逆否命题：若x＝1且y＝2，则x＋y＝3；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．学习目标预习导学典例精析栏目链接逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．点评：要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式迁移1．判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假．(1)当c0时，若ab，则acbc；(2)若cosα＝12，则α＝－π3.解析：(1)由于原命题与其逆命题“当c0时，若acbc，则ab”均为真命题，因此它的否命题与逆否命题也为真命题．(2)命题“若cosα＝12，则α＝π3”是假命题，因为，由cosα＝12得α＝2kπ±π3(k∈Z)，所以，其逆否命题也是假命题；其逆命题：“若α＝π3，则cosα＝12”，是真命题，所以，其否命题也是真命题．学习目标预习导学典例精析栏目链接题型二等价命题的应用例2证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.分析：本题若要直接证明，比较困难，可以考虑证明它的逆否命题．证明：原命题的逆否命题是“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．学习目标预习导学典例精析栏目链接若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又因为函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题．点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练2．判断命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解析：方法一因为m0，所以12m0，所以12m＋40.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋40.所以原命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．方程x2＋2x－3m＝0无实数根，所以Δ＝4＋12m0.所以m－≤0.所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真命题．学习目标预习导学典例精析栏目链接题型三命题的否定与否命题例3写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(3)若一个数是质数，则这个数是奇数．解析：(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．学习目标预习导学典例精析栏目链接原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题．(3)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题．学习目标预习导学典例精析栏目链接原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题．点评：命题的否定是：不否定条件只否定结论；命题的否命题是：既否定条件又否定结论．两者容易混淆，要注意区别．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练3．命题“若a＝－1，则a2＝1”的逆否命题是__________________．若a2≠1，则a≠－1学习目标预习导学典例精析栏目链接