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第一章常用逻辑用语1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件的意义．2．掌握判断命题的充要条件的方法．3．能进行有关充分条件、必要条件的判断.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩新知视界1．充分条件：如果p⇒q，则p叫q的充分条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件．2．必要条件：如果q⇒p，则p叫q的必要条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件．思考感悟1．如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？提示：由上述定义知“p⇒q”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p，q是p成立的必不可少的条件，但有q未必一定有p.2．若p是q的充分条件，这样的条件p是惟一的吗？提示：不惟一．如1x3是x0的充分条件，又如，x5,2x7等都是x0的充分条件．尝试应用1．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是()A．“acbc”是“ab”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“acbc”是“ab”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案：B2．若綈p是綈q的必要条件，则q是p的()A．充分条件B．必要条件C．非充分条件D．非必要条件解析：由已知得綈q⇒綈p，其逆否命题是p⇒q，所以q是p的必要条件．答案：B解析：y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，其周期T＝2π|a|＝π∴|a|＝1，即a＝1或a＝－1.3．“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________．答案：a＝1(或a＝－1)4．用“充分条件”和“必要条件”填空．(1)“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的______．答案：(1)必要条件(2)充分条件5．已知a、b为不等于0的实数，判断“ab1”是“ab”的什么条件？并证明你的结论．解：由条件“ab1”可得a－bb0，若b0，则ab；若b0，则ab，所以“ab1”⇒/“ab”，“ab1”不是“ab”的充分条件．反过来，ab⇔a－b0，也不能推出ab1⇔a－bb0，“ab1”也不是“ab”的必要条件．所以“ab1”既不是“ab”的充分条件，也不是“ab”的必要条件．典例精析类型一用定义法判断充分条件、必要条件[例1]判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；[分析]只需分析当p成立时q是否成立，还有当q成立时p是否成立．[解](1)由a2＋b2＝0得a＝b＝0，从而可以推出a＋b＝0；而由a＋b＝0，推不出a2＋b2＝0(如a＝1，b＝－1)，所以p是q的充分不必要条件．(2)由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是矩形”；而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的必要不充分条件．[点评](1)判断p是q的什么条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立，若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度入手去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．迁移体验1(1)(2010·陕西高考)“a0”是“|a|0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)若a，b∈R，则“ab0”是“a2b2”成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)因为“a0”⇒“|a|0”，但是“|a|0”⇒“a0或a0”，所以“|a|0”推不出“a0”，故“a0”是“|a|0”的充分不必要条件，故选A.(2)由不等式的性质可得ab0⇒a2b20由a2b2可得|a||b|，不一定有ab0，也可ab0，也可a0，b0且a－b，故“ab0”是“a2b2”的充分不必要条件．答案：(1)A(2)B类型二用集合法判断充分条件、必要条件[例2]0x5是不等式|x－2|4成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[分析]|x－2|4⇒－2x6，由小范围可推出大范围原理可得答案．[解]由题意，设A＝{x|0x5}，B＝{x||x－2|4}＝{x|－2x6}，从而有AB，所以A中元素一定是B中的元素，而B中存在A中没有的元素，故0x5⇒|x－2|4，而|x－2|4⇒／0x5，所以0x5是|x－2|4的充分不必要条件．故选A.[点评]一般情况下，若条件甲为x∈A，条件乙为x∈B.当且仅当A⊆B时，甲为乙的充分条件；当且仅当B⊆A时，甲为乙的必要条件；当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．迁移体验2设p：x2－x－200，q：1－x2|x|－20，则p是q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于p：由x2－x－200，解得x5或x－4.对于q：当x≥0时，有1－x2x－20，即x＋1x－1x－20，解得x2或－1x1，而x≥0，∴0≤x1或x2；当x0时，同理，解得－1x0或x－2，即q：－1x1或x－2或x2.显然p是q的充分不必要条件．故选A.答案：A→得A、B的包含关系→求得p的范围类型三求参数的取值范围[例3]是否存在实数p，使4x＋p0是x2－x－20的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．设A＝{x|x2－x－20}，B＝{x|4x＋p0[分析]化简A、B[解]由x2－x－20，解得x2或x－1，令A＝{x|x2或x－1}，由4x＋p0，得B＝{x|x－p4}，当B⊆A时，即－p4≤－1，即p≥4，此时x－p4≤－1⇒x2－x－20，∴当p≥4时，4x＋p0是x2－x－20的充分条件．[点评]1.根据定义，已知p是q的充分条件(或q是p的必要条件)，则p⇒q成立．2．可从集合的角度判断：①若集合A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．②若集合AB，则A不是B的充分条件，B也不是A的必要条件．迁移体验3已知M＝{x|(x－a)21}，N＝{x|x2－5x－240}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．解：由(x－a)21得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)0，∴a－1xa＋1.又由x2－5x－240得，－3x8.∵M是N的充分条件，∴M⊆N，∴，解得－2≤a≤7.故a的取值范围是－2≤a≤7.思悟升华1．充分条件与必要条件的正确理解一般地，“若p则q”为真命题，是指由p，通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q.并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．注意：p是q的充分条件反映了p⇒q，而q是p的必要条件也反映了p⇒q，所以p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．而p是q的充分条件只反映p⇒q，与q能否推出p没有任何关系．2．p⇒q的另外几种说法在逻辑推理中，p⇒q还可以表达成以下5种说法：①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q.这5种说法表示的逻辑关系是一样的，只是说法不同而已．