高二数学人教A版选修21课件242抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质共

2.4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质图形标准方程焦点坐标准线方程220ypx(p)220xpy(p)220xpy(p)2p(0)，2p(0,)2p(0,)220ypx(p)2p(0)，2px2px2py2py类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？【思考】1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（重点）2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；（重点、难点）3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程研究它的一些简单几何性质.探究点1抛物线的简单几何性质）（1)0(22ppxy1.范围因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2.对称性以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点．4.离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2(,)2pp|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5.通径连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP6.焦半径0pPFx.2方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;(5)抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大.【提升总结】解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），所以，可设它的标准方程为222y2px(p0),因为点M在抛物线上，所以2(22)22,p因此,所求抛物线的标准方程是24.yx【例１】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.22即p=2.2214yxF,A,BAB.l【例】斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，求线段的长分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.1122112111AAABA(x,y),B(x,y).AFAAA.AAd,dx,AFdx.BFBBdx,如图，设由抛物线的定义可知，等于点到准线的距离设而于是同理，于是得122ABAFBFxx.12A,Bxx,AB.由此可见，只要求出点的横坐标之和就可以求出xyOFABBA''1211ABAFdx,BFdx,122ABAFBFxx.于是101F(,),AByx.(1)由已知得抛物线的焦点为所以直线的方程为211012pp,,F(,),:x.l由意可知，焦解：准1122ABA(x,y),B(x,y),A,Bld,d.如图，设到准线的距离分别为由抛物线的定义可知题点线lxyOFABBA''221414yx,(x)x,将（）代入方程得2610xx.化简得126xx.利用根与系数的关系可以直接求出8AB.所以，线段的长是12322322x,x,由求根公式得1228ABxx.于是还可以如何求x1+x2?分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜D1.（2013·四川高考）抛物线28yx的焦点到直线30xy的距离是（）A.23B.2C.3D.12.已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=.22(0)ypxp43.已知直线x-y=2与抛物线交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标是.24yx(4,2)4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，建系如图所示，求抛物线的标准方程和焦点位置.xyOBA(40,30)所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.解：在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px（p＞0），由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解得:p=45.4故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)845抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１.抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；1.范围：2.对称性：3.顶点：4.离心率：目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功.